图像的二维DFT及其反变换 .

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在图像处理中，傅里叶变换应该是二维的，而且，是离散的，即：二维DFT。一个图像尺寸为的函数的离散傅里叶变换由以下等式给出：


(1)
像在一维中的一样，此表达式对u值（u=0,1,2,...,M-1）和v值(v=0,1,2,..,N-1)计算。给出,可以通过傅里叶反变换来计算得到f(x,y),即：


（2）
其中，x=0,1,...,M-1,y=0,1,...,N-1;上面两个式子共同构成了二位离散傅里叶变换对（DFT）。变量u和v是变换或频率变量，x和y是图像变量。

幅度（频率谱）：


（3）
相角：

（4）

功率谱(谱密度)：


（5）
其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。

通常，在傅里叶变换之前用乘以输入图像函数，由于指数的性质，可以看出：


（6）
其中表示一种傅里叶变换。这个等式说明，傅里叶变换的原点（F（0,0））被设置在u=M/2和N/2上。换句话说，用乘以f(x,y)将F)(u,v)原点变换到（M/2,N/2）,它是二维离散傅里叶变换设置的区域的中心。我们将此频率域的范围指定为频率矩形，它从u=0到u=M-1,从v=0到v-N-1，其中，u和v都是整数，而且，为了确保移动后的坐标为整数，要求M和N都是偶数。

从（1）我们可以发现，(u,v)=(0,0)的变换值为：



（7）
即f(x,y)的平均值，也就是说，如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度值。因为在原点处常常为0，F（0,0）有时被称作频率谱的直流成分。

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