每日一题(16)——求子串最大积&最大和

求子串最大积

问题：

给定一个长度为N的整数数组， 只允许用乘法， 不能用除法， 计算任意 （N-1）个数的组合乘积中最大的一组，并写出算法的时间复杂度。

解法1.
•我们把所有可能的（N-1）个数的组合找出来，分别计算它们的乘积，并比较大小。由于总共有N个（N-1）个数的组合，总的时间复杂度为 O（N^2）

显然这不是最好的解法。

解法2.



计算前i项乘积s[i-1]与后n-(i+1)项乘积t[i+1],，总的时间复杂度为 O（N^2）

显然这不是最好的解法。

解法3.
•假设 N 个整数的乘积为 P，针对 P 的正负性进行如下分析（其中，A(N-1)表示 N-1 个数的组合, P(N-1)表示 N-1 个数的组合的乘积）：

1. P为0

那么，数组中至少包含有一个0。假设除去一个0之外，其他N-1个数的乘积为Q，根据Q的正负性进行讨论：

Q为0

说明数组中至少有两个0，那么N-1个数的乘积只能为0，返回0；

Q为正数

返回Q，因为如果以0替换此时A(N-1)中的任一个数，P(N-1)所得到的为0，必然小于Q；

Q为负数

如果以0替换此时A(N-1)中的任一个数，所得到的P(N-1)为0，大于Q，乘积最大值为0。
•2. P为负数

根据“负负得正”的乘法性质，自然想到从N个整数中去掉一个负数，使得P(N-1)为一个正数。而要使这个正数最大，这个被去掉的负数的绝对值必须是数组中最小的。

我们只需要扫描一遍数组，把绝对值最小的负数给去掉就可以了。
•3. P为正数

类似P为负数的情况，应该去掉一个绝对值最小的正数值，这样得到的P(N-1)就是最大的。

•上面的解法采用了直接求 N个整数的乘积P，进而判断 P的正负性的办法，但是直接求乘积在编译环境下往往会有溢出的危险 （这也就是本题要求不使用除法的潜在用意☺），事实上可做一个小的转变，不需要直接求乘积，而是求出数组中正数（+）、负数（-）和 0 的个数，从而判断 P 的正负性，其余部分与以上面的解法相同。
• 在时间复杂度方面，由于只需要遍历数组一次，在遍历数组的同时就可得到数组中正数（+）、负数（-）和 0 的个数，以及数组中绝对值最小的正数和负数，时间复杂度为 O（N）。

求子串最大和：

《编程珠玑》第8章的一道题：求子串最大和：

一个具有n个浮点数的向量x，要求输出相邻子向量的最大和，如图：



程序返回值应为x[2..6]的总和，即187。

在这里直接给出最适合简单的解法：

从数组的最左边x[0]开始扫描，一直到最右端x[n-1]。记录所有遇到的最大总和子向量maxendinghere。数组的最大总和maxsofar的初始值为0。



[cpp] view
plaincopyprint?

int MaxChildSum(int X[],int n)

{

int maxsofar = 0;

int maxendinghere = 0;

for (int i=0; i<n; i++)

{

maxendinghere = max(maxendinghere+X[i], 0);

maxsofar = max(maxendinghere, maxsofar);

}

cout<<maxsofar<<endl;

return maxsofar;

}

这个程序的思想就是利用maxendinghere这个变量，它保存这结束位置为i-1的最大子向量和，赋值语句：maxendinghere = max(maxendinghere+X[i], 0);，

判断maxendinghere+X[i],：若为正值，则将maxendinghere增大到i；若为负值，将maxendinghere重新置零。

复杂度只有O(n)。

算法的思量是求累加数组

题目扩展：

查找总和最接近0的子序列？

[cpp] view
plaincopyprint?

void MostNearZero(int X[],const int& n)

{

int temp[10];

for (int i=0; i<n; i++)

{

temp[i] += X[i];

}

int minSub=10000,tmp=0;

int left,right;

for(int i=0; i<n; i++)

{

for(int j=i+1; j<n; j++)

{

tmp = abs(temp[i]-temp[j]);

if (tmp<minSub)

{

minSub=tmp;

left=i;right= j;

}

}

}

}

利用累加数组temp[i]，temp[i]为元素0到i的和，temp[i]与temp[j]的差，当temp[i]-temp[j]=0时，则元素i到j-1的总和为0。