拓扑排序

拓扑排序

什么是拓扑排序：

拓扑排序就是将一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v>
∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。

拓扑排序的特性：

若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。
当有向图中存在有向环时，拓扑序列不存在，即不能对该图进行拓扑排序。
一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。

一个DAG可能有多个拓扑序列。

拓扑排序的方法：

无前趋的顶点优先的拓扑排序方法

该方法的每一步总是输出当前无前趋(即人度为零)的顶点，其抽象算法可描述为：

NonPreFirstTopSort(G)
{
    //优先输出无前趋的顶点
    while(G中有人度为0的顶点)
    {
        　从G中选择一个人度为0的顶点v且输出之；
        　从G中删去v及其所有出边；　
    }
    if(输出的顶点数目<总节点数)
    {
        　//若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。
        　Error("G中存在有向环，排序失败！")；　　
    }
}

注意事项：

注意保存各个节点当前的入度，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点。
在开始排序前，扫描对应的存储空间，将人度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选人度为零的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。

无后继的顶点优先拓扑排序方法

思想方法：

该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。对于一个DAG，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。
因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。
若T是栈，则每当输出顶点时，只需做人栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。
若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。

抽象算法描述：

NonSuccFirstTopSort(G)
{
    //优先输出无后继的顶点
    while(G中有出度为0的顶点)
    {
        从G中选一出度为0的顶点v且输出v；
        从G中删去v及v的所有人边
    }
    if(输出的顶点数目<|V(G)|)
    {
        Error("G中存在有向环，排序失败!")；
    }
}

备注：

在对该算法求精时，可用逆邻接表作为G的存储结构。
设置一个向量outdegree[0..n-1]或在逆邻接表的顶点表结点中增加1个出度域来保存各顶点当前的出度。
设置一个栈或队列来暂存所有出度为零的顶点。
除了增加一个栈或向量T来保存输出的顶点序列外，该算法完全类似于NonPreFirstTopSort。

利用深度优先遍历对DAG拓扑排序

思想方法：

当从某顶点v出发的DFS搜索完成时，v的所有后继必定均已被访问过(想像它们均已被删除)。
此时的v相当于是无后继的顶点，因此在DFS算法返回之前输出顶点v即可得到 DAG的逆拓扑序列。
其中第一个输出的顶点必是无后继(出度为0)的顶点，它应是拓扑序列的最后一个顶点。
若希望得到的不是逆拓扑序列，同样可增加T来保存输出的顶点。
若假设T是栈，并在DFSTraverse算法的开始处将T初始化

抽象代码描述：

void DFSTopSort(G，i，T)
{
    //在DisTraverse中调用此算法，i是搜索的出发点，T是栈
    int j；
    visited[i]=TRUE； //访问i
    for(所有i的邻接点j)//即<i，j>∈E(G)
        if(!visited[j])
            DFSTopSort(G，j，T)；//以上语句完全类似于DFS算法
    Push(&T，i)； //从i出发的搜索已完成，输出i
}

备注：

只要将深度优先遍历算法DFSTraverse中对DFS的调用改为对DFSTopSort的调用，即可求得拓扑序列T。其具体算法不难从上述抽象算法求精后得到。
若G是一个DAG，则用DFS遍历实现的拓扑排序与NonSuccFirstTopSort算法完全类似；但若C中存在有向环，则前者不能正常工作。

作业练习：