[知识点]数论之导数

1、前言

又开始一年一度的组合数学课了。去年这个时候我可以说是一句话都没听懂，如今一年过去了，虽然高一已经过去了，然并卵啊！三个小时，学完了排列组合，函数极限，导数，微分，定积分与不定积分，我要去问问数学组的学了多久。。。所以只能课后再来吃点补品了。

2、函数变化率

任何函数，均存在自己的变化率。变化率并不是变化，所以不带单位。如图所示，观察其中的△y。



当x=0->1，函数y值增加了△y=f[1]-f[0]=4，则此时的变化率为：△y/△x=4/1=4；

当x=1->2，函数y值增加了△y=f[2]-f[1]=1，则此时的变化率为：△y/△x=1/1=1。

可以看出，随着x值的增大，函数的变化率减小。

3、函数极限

联系物理高一必修一知识，不禁会思考：我们在计算一个运动物体的速度的时候，显然只能求出某一时间段的平均速度，书上所写的概念是，当△t足够小时就是瞬时速度。足够小是多小？现在我们来做一个实验。存在一个物体，它的位移公式为：h[i]=-4.9t^2-13.1t。假设需要求出t=2时的瞬时速度。我们先考虑t=2附近的情况，任意取一个时刻2+△t，△t是时间变化量，现在分为△t<0和△t>0两种情况讨论：

当△t<0时，v=(h[2]-h[2+△t])/(2-(2+△t))=(4.9△t^2+13.1△t)/-△t=-4.9△t-13.1；

当△t=-0.01时，v=-13.051；当△t=-0.001时，v=-13.0951；

当△t=-0.0001时，v=-13.09951；当△t=-0.00001时，v=-13.099951；

当△t=-0.000001时，v=-13.0999951；当△t=-0.0000001时，v=-13.09999951；

当△t<0时，v=(h[2+△t]-h[2])/((2+△t)-2)=(-4.9△t^2-13.1△t)/△t=-4.9△t-13.1；

当△t=0.01时，v=-13.149；当△t=0.001时，v=-13.1049；

当△t=0.0001时，v=-13.10049；当△t=0.00001时，v=-13.100049；

当△t=0.000001时，v=-13.1000049；当△t=0.0000001时，v=-13.10000049。

我们发现，当△t趋近于0时，v都趋近于一个确定的值-13.1。因此，我们可以确定，当t=2时，物体的瞬时速度为-13.1m/s。

而通常，标准的写法为：



表示，“当t=2，△t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。

4、导数的概念

一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：



我们称其为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x=x0，即：



5、导数的几何意义

首先确定一条过原点的二次函数线y=f(x)，取线上任意一定点为P，作其切线，另取线上任意一点为Pn，连接PPn。移动Pn，如图所示：



我们发现，当点Pn趋近于P时，割线PPn趋近于切线PT。首先容易知道，割线PPn的斜率为：



由于PPn无限趋近于PT，同样地，kn也将趋近于PT的k值。设△x=x(Pn)-x(P)，函数f(x)在点P处的导数就是切线PT的斜率k，即：



6、基本导数公式和运算法则

在清楚了几何意义和物理意义之后，就是计算的问题了。由上文可以得知，求最简形式函数的导数，直接将y代入就行了，下面直接列举些最基本函数的导数。

　　　　<1> y=f(x)=c (c∈N*) ==> y'=0;

　　　　<2> y=f(x)=x ==> y'=1;

　　　　<3> y=f(x)=x^2 ==> y'=2*x;

　　　　<4> y=f(x)=x^a ==> y'=a*x^a-1;

　　　　<5> y=f(x)=a^x ==> y'=a^x * ln a;

　　　　<6> y=f(x)=e^x (e≈2.719) ==> y'=e^x;

　　　　<7> y=f(x)=loga x ==> y'=1/x*ln a;

　　　　<8> y=f(x)=ln x ==> y'=1/x.

　　对于两个函数加减问题，存在如下三条运算法则：

　　　　<1> [f(x)±g(x)]'=f'(x)+g'(x);

　　　　<2> [f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x);

　　　　<3> [f(x)/g(x)]'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g(x)^2 (g(x)!=0).

　　从法则<2>中可以延伸出，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即[c*f(x)]'=c*f'(x)。举一个例子来体现运算法则：求函数y=x^3-2x+3的导数。

　　　　解：y'=(x^3-2x+3)'

　　　　　　 =(x^3)'-(2x)'+3'

　　　　　　 =3x^2-2.

　　　　答：函数y=x^3-2x+3的导数为y'=3x^2-2。

7、小结

　　这些东西以后迟早会学的，所以现在看看也无妨。后面的话，还将谈谈微分，定积分，不定积分等内容。