2.x ESL第二章习题2.4
2015-08-12 01:47
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题目
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准备
$x_i\sim N(0,1)$,有$\sum_i^n x_i^2 \sim \chi^2(n)$其中$n$称为自由度,卡方分布的均值即其自由度
$x_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$,有$\sum_i a_ix_i \sim N(\sum_i a_i\mu_i,\sum_ia_i^2\sigma_i^2)$
n个正态分布变量的线性和,依然符合正态分布
计算向量b投影到向量x上的长度t,$t=|b|cos\theta=|b|\frac{x^Tb}{|x||b|}=\frac{x^T}{|x|}b=a^Tb$
所以a为单位向量$\sum_i a_i^2=1$
题解
$z=a^Tx$,$Var(z_i)=\sum_j a_j^2Var(x_j)=\sum_j a_j^2=1$所以$z_i\sim N(0,1)$
距离的平方$d^2\sim \chi^2(p)$,所以平均距离为$\sqrt p$
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