例题7-14 网格动物 UVa1602
2015-08-10 17:05
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1.题目描述:点击打开链接
2.解题思路:本题利用回溯法解决。本题实际上是要搜索n连通块不同形态的个数(平移,翻转,旋转后相同的算作一种形态),因此能够有效的判断n连通块是否重复是关键。
那么如何判断是否重复呢?我们一步步的分析。由于可能要涉及对一个对象的旋转,平移,翻转操作,因此我们有必要定义好相应的结构体去支持这些操作的完成。首先不难发现,每个单元格应当作为一个结构体出现,用(x,y)即可完整的描述一个具体的单元格,不妨定义为Cell结构体。对于一个连通块,我们实际上关心的是他的外部形态,并不关心每个格子的位置,因此可以将set<Cell>当做一个结构体,定义为Polyomino,表示一系列Cell拼成的连通块。
接下来考虑连通块应当具备什么样的操作?对于平移操作,我们可以定义一个normalize函数,找出x,y分别的最小值minX,minY,那么它可以视为一个平移矢量(minX,minY),将连通块的每个单元格都减去该矢量,即实现了标准化。对于旋转操作,我们可以定义一个rotate函数,表示将整个连通块围绕坐标原点顺时针旋转90度。如何实现呢?其实很简单,只需要将每个格子都顺时针旋转90度即可。相应的几何变换为(x,y)->(y,-x)。对于翻转操作,由于既可以沿x轴翻转,也可以沿y轴翻转,但实际上沿x轴翻转后再绕坐标原点顺时针旋转180度即可得到沿y轴翻转的图案。因此这里我们定义一个flip函数,表示将一个连通块沿x轴翻转。相应的几何变换为(x,y)->(x,-y)。
有了上述的三种操作以后,判断是否重复就变得非常简单了。首先将当前的连通块平移到坐标原点,每次都顺时针旋转90度,检查是否和当前的n连通块集合中出现的有重复。如果均没有,将该连通块沿x轴翻转后,再依次顺时针旋转90度判断,如果均没有,就表示这是一种新的形态,加入到n连通块所在的集合中即可。
解决了判重的问题,接下来考虑如何枚举所有的n连通块。一个n连通块,当n>1时,一定是在n-1连通块的基础上生成的,即以每个n-1连通块为基础,以某一个n-1连通块的某个单元格开始,向上下左右4个方向扩展。如果可以扩展,且不出现重复,就找到了一个n连通块,加入到集合中来。最终完成n连通块的枚举。
为了避免每次输入都要进行一次枚举,我们可以事先对所有的n连通块个数打表,题目中w,h的范围都比较小,可以用ans
[w][h]来表示在w*h网格内的n连通块的个数。打表后直接输出即可。
注意:在rotate函数和flip函数中,一定要先进行旋转或者翻转操作,再标准化,如果顺序弄反了会改变其中平移矢量的角度,使得后续判断出错。
3.代码:
2.解题思路:本题利用回溯法解决。本题实际上是要搜索n连通块不同形态的个数(平移,翻转,旋转后相同的算作一种形态),因此能够有效的判断n连通块是否重复是关键。
那么如何判断是否重复呢?我们一步步的分析。由于可能要涉及对一个对象的旋转,平移,翻转操作,因此我们有必要定义好相应的结构体去支持这些操作的完成。首先不难发现,每个单元格应当作为一个结构体出现,用(x,y)即可完整的描述一个具体的单元格,不妨定义为Cell结构体。对于一个连通块,我们实际上关心的是他的外部形态,并不关心每个格子的位置,因此可以将set<Cell>当做一个结构体,定义为Polyomino,表示一系列Cell拼成的连通块。
接下来考虑连通块应当具备什么样的操作?对于平移操作,我们可以定义一个normalize函数,找出x,y分别的最小值minX,minY,那么它可以视为一个平移矢量(minX,minY),将连通块的每个单元格都减去该矢量,即实现了标准化。对于旋转操作,我们可以定义一个rotate函数,表示将整个连通块围绕坐标原点顺时针旋转90度。如何实现呢?其实很简单,只需要将每个格子都顺时针旋转90度即可。相应的几何变换为(x,y)->(y,-x)。对于翻转操作,由于既可以沿x轴翻转,也可以沿y轴翻转,但实际上沿x轴翻转后再绕坐标原点顺时针旋转180度即可得到沿y轴翻转的图案。因此这里我们定义一个flip函数,表示将一个连通块沿x轴翻转。相应的几何变换为(x,y)->(x,-y)。
有了上述的三种操作以后,判断是否重复就变得非常简单了。首先将当前的连通块平移到坐标原点,每次都顺时针旋转90度,检查是否和当前的n连通块集合中出现的有重复。如果均没有,将该连通块沿x轴翻转后,再依次顺时针旋转90度判断,如果均没有,就表示这是一种新的形态,加入到n连通块所在的集合中即可。
解决了判重的问题,接下来考虑如何枚举所有的n连通块。一个n连通块,当n>1时,一定是在n-1连通块的基础上生成的,即以每个n-1连通块为基础,以某一个n-1连通块的某个单元格开始,向上下左右4个方向扩展。如果可以扩展,且不出现重复,就找到了一个n连通块,加入到集合中来。最终完成n连通块的枚举。
为了避免每次输入都要进行一次枚举,我们可以事先对所有的n连通块个数打表,题目中w,h的范围都比较小,可以用ans
[w][h]来表示在w*h网格内的n连通块的个数。打表后直接输出即可。
注意:在rotate函数和flip函数中,一定要先进行旋转或者翻转操作,再标准化,如果顺序弄反了会改变其中平移矢量的角度,使得后续判断出错。
3.代码:
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include<iostream> #include<algorithm> #include<string> #include<sstream> #include<set> #include<vector> #include<stack> #include<map> #include<queue> #include<deque> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<ctime> #include<cctype> #include<functional> using namespace std; #define me(s) memset(s,0,sizeof(s)) #define pb push_back typedef long long ll; typedef unsigned int uint; typedef unsigned long long ull; typedef pair <int, int> P; struct Cell //定义单元格 { int x,y; Cell(int x=0,int y=0):x(x),y(y){} bool operator<(const Cell&rhs)const { return x<rhs.x||(x==rhs.x&&y<rhs.y);//由于要使用set,必须对单元格定义大小关系 } }; typedef set<Cell>Polyomino;//定义连通块 #define FOR_CELL(c,p) for(Polyomino::const_iterator c=(p).begin();c!=(p).end();c++) inline Polyomino normalize(const Polyomino &p)//标准化 { int minX=p.begin()->x,minY=p.begin()->y;//找到x,y的最小值,然后把每个单元格都分别减去minX,minY,得到标准化后的单元格 FOR_CELL(c,p) { minX=min(minX,c->x); minY=min(minY,c->y); } Polyomino p2; FOR_CELL(c,p) p2.insert(Cell(c->x-minX,c->y-minY)); return p2; } inline Polyomino rotate(const Polyomino&p)//旋转操作,对一个连通块顺时针旋转90度,并标准化 { Polyomino p2; FOR_CELL(c,p) p2.insert(Cell(c->y,-c->x)); return normalize(p2); //注意:此处一定要先旋转,再标准化! } inline Polyomino flip(const Polyomino&p)//翻转操作,对一个连通块沿x轴翻转,并标准化 { Polyomino p2; FOR_CELL(c,p) p2.insert(Cell(c->x,-c->y)); return normalize(p2); } const int dx[]={-1,1,0,0}; const int dy[]={0,0,-1,1}; const int N=10; set<Polyomino>poly[N+1];//连通块集合,poly[i]表示所有的i连通块构成的集合 int ans[N+1][N+1][N+1];//打表,ans [w][h]表示w*h网格中的n连通块的个数 void check_polyomino(const Polyomino&p0,const Cell&c)//判断重复性,如果p0+c构成的连通块不重复,则加入到集合中 { Polyomino p=p0; p.insert(c); p=normalize(p);//先进行标准化 int n=p.size(); for(int i=0;i<4;i++)//每次旋转90度,看能否在当前的n连通块集合里找到 { if(poly .count(p))return; p=rotate(p); } p=flip(p);//翻转 for(int i=0;i<4;i++)//再每次旋转90度,看能否找到 { if(poly .count(p))return; p=rotate(p); } poly .insert(p);//说明是一个新的形态,加入集合 } void Generate()//生成所有的n连通块,并打表 { Polyomino s; s.insert(Cell(0,0)); poly[1].insert(s); for(int n=2;n<=N;n++)//枚举每个n连通块集合 for(set<Polyomino>::iterator p=poly[n-1].begin();p!=poly[n-1].end();p++)//枚举每个n连通块 FOR_CELL(c,*p)//枚举一个n连通块的每个单元格 for(int dir=0;dir<4;dir++)//枚举4个方向,看能否扩展 { Cell newc(c->x+dx[dir],c->y+dy[dir]); if(p->count(newc)==0)check_polyomino(*p,newc); } for(int n=1;n<=N;n++) for(int w=1;w<=N;w++) for(int h=1;h<=N;h++)//打表 { int cnt=0; for(set<Polyomino>::iterator p=poly .begin();p!=poly .end();p++) { int maxX=0,maxY=0; FOR_CELL(c,*p) //寻找当前的连通块的最大的x,y { maxX=max(maxX,c->x); maxY=max(maxY,c->y); } if(min(maxX,maxY)<min(h,w)&&max(maxX,maxY)<max(h,w))++cnt;//能够放入w*h网格内的条件 } ans [w][h]=cnt; } } int main() { Generate(); int n,w,h; while(~scanf("%d%d%d",&n,&w,&h)) printf("%d\n",ans [w][h]); }
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