次小生成树模板
2015-08-10 16:17
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次小生成树可由最小生成树换一条边得到,这是核心结论!
证明:咱换种方式去看待这个结论(一个生成树可以通过换边得到另一个生成树),T是某一棵最小生成树,T0是任一棵异于T的生成树,通过变换T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T) 变成最小生成树。所谓的变换是,每次把Ti中的某条边换成T中的一条边, 而且树T(i+1)的权小于等于Ti的权。
看下面的具体步骤(一定要理解透彻)。
step 1. 在Ti中任取一条不在T中的边uv.
step 2. 把边uv去掉,就剩下两个连通分量A和B,在T中,必有唯一的边u'v' 连结A和B。这是为什么呢?因为生成树中任意两点间只有一条路径(下面也要用这个),且必有一条。
step 3. 显然u'v'的权比uv小 (prime算法贪心的,否则,uv就应该在T中),把u'v'替换uv即得树T(i+1)。
特别地:取T0为任一棵次小生成树,T(n-1) 也就是次小生成树且跟T差一条边, 结论得证。
具体实现看代码。
http://blog.sina.com.cn/s/blog_63509b890100r445.html
证明:咱换种方式去看待这个结论(一个生成树可以通过换边得到另一个生成树),T是某一棵最小生成树,T0是任一棵异于T的生成树,通过变换T0 --> T1 --> T2 --> ... --> Tn (T) 变成最小生成树。所谓的变换是,每次把Ti中的某条边换成T中的一条边, 而且树T(i+1)的权小于等于Ti的权。
看下面的具体步骤(一定要理解透彻)。
step 1. 在Ti中任取一条不在T中的边uv.
step 2. 把边uv去掉,就剩下两个连通分量A和B,在T中,必有唯一的边u'v' 连结A和B。这是为什么呢?因为生成树中任意两点间只有一条路径(下面也要用这个),且必有一条。
step 3. 显然u'v'的权比uv小 (prime算法贪心的,否则,uv就应该在T中),把u'v'替换uv即得树T(i+1)。
特别地:取T0为任一棵次小生成树,T(n-1) 也就是次小生成树且跟T差一条边, 结论得证。
具体实现看代码。
#include<stdio.h> ////O(v^2),适用于稠密图 #include<string.h> #define max(x,y) x>y?x:y #define min(x,y) x<y?x:y const int N=1000; const int INF=0x3f3f3f3f; int a ,p ,low ,n; int f ,fa ; int prim() { int i,j,ans=0,poi,top=0,sta ; memset(p,0,sizeof(p)); memset(f,0,sizeof(f)); p[1]=1,sta[++top]=1; for(i=1;i<=n;i++) { low[i]=a[1][i]; fa[i]=1; //父节点 } for(i=1;i<n;i++) ////n-1次操作 { int mi=INF; for(j=1;j<=n;j++) { if(!p[j]&&mi>low[j]) { mi=low[j]; poi=j; } } p[poi]=1; ans+=mi; //// dp for(j=1;j<=top;j++) { f[sta[j]][poi]=f[poi][sta[j]]=max(mi,f[fa[poi]][sta[j]]); } sta[++top]=poi; for(j=1;j<=n;j++) if(!p[j]&&low[j]>a[poi][j]) { fa[j]=poi; ////更新父节点 low[j]=a[poi][j]; } } return ans; } int SMST() { int tmp=prim(),i,j,mi=INF; printf("SMT: %d\n",tmp); for(i=1;i<=n;i++) { for(j=1;j<=n;j++) { if(i!=j&&a[i][j]!=INF&&fa[i]!=j&&fa[j]!=i) ////fa[i]!=j&&fa[j]!=i表示这两个点之间的边没有在最小生成树中 { mi=min(mi,a[i][j]-f[i][j]); } } } return tmp+mi; } int main() { int i,j; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]); printf("SMST: %d\n",SMST()); } return 0; } /* 测试数据 4 0 4 9 21 4 0 8 17 9 8 0 16 21 17 16 0 */参考文章:http://www.cnblogs.com/hxsyl/p/3290832.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_63509b890100r445.html
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