【COCI 2012】Rotate

题目大意

要求维护一个序列{An}\{ A_n \}，按照每mm个元素为一块分成nm\frac{n}{m}块，其中m|nm|n，有QQ个操作，包括以下两种。

将整个序列旋转xx位

将每一块里面的元素都旋转xx位

现在给出序列的最后状态，以及每一步操作，要求还原出最初的状态。

n,Q<=105n, Q<=10^5

分析

首先先弄清楚一些很重要的东西。

把一个序列左转xx位相当于把这个序列右转(len−x)(len-x)位

将一个序列右转xx位⟺\Longleftrightarrow每一个数的位置标号pi=(pi+x)modlen⟺p_i=(p_i+x)\mod len \Longleftrightarrow每一个位置对应原序列的编号numi=(numi−x)modlennum_i=(num_i-x)\mod len

弄懂这个东西非常重要，直接影响了做出这道题需要的时间。

必须举个例子

比如右转x=5x=5位，序列长度len=9len=9

那么原本在第11位的数BB跑到了第((1+5)mod9=6)((1+5)\mod 9=6)位。

首位对应原来的第(0−5)mod9=4(0-5)\mod 9=4位。

接下来考虑不同的块之间的同一个位置，把它们称作一个“组”。我们发现无论是第一种操作或者第二种操作，组内元素都是不变的。而第二种操作只会改变组间的顺序（然而环上相对顺序不变），第一种操作也会改变组间顺序，也是环上相对顺序不变，我们不妨开一个变量dgrpd_{grp}表示第一个组的编号来维护组的顺序。

然后第一种操作不仅仅改变了组间顺序，也会改变组内的顺序。至于组内顺序的改变，它也是环上相对顺序不变的。类比第一种操作的维护我们只需要分别给每个组维护一个dxd_x就好了。而我们对dd进行修改必定是连续的一段，而对dd数组的询问只在最后统计答案时发生，那么只需要维护一个增量数组，最后取前缀和就可以了。

后记

掌握住旋转的特性。

先将模棱两可的式子写好，写对。