CLRS 3.2标准记号与常用函数

3.2-1

根据题意，设 n<mn 有 f(n)<f(m),g(n)<g(m)f(n)，得：f(n)+g(n)<f(m)+g(m)f(n)+g(n)，因为 f(n)f(n) 和 g(n)g(n) 都是单调递增，所以有 f(g(n))<f(g(m))f(g(n))。

若 f(n),g(n)f(n),g(n) 非负，则 f(n)⋅g(n)<f(m)⋅g(m)f(n)·g(n)。

3.2-2

证明 alogbc=clogbaa^{\log_bc}=c^{\log_ba}。

证：alogbc=alogaclogab=(alogac)1logab=c1logab=clogbaa^{\log_bc}=a^{\frac{\log_ac}{\log_ab}}=(a^{\log_ac})^{\frac{1}{\log_ab}}=c^{\frac{1}{\log_ab}}=c^{\log_ba}

3.2-3

证明 lg(n!)=Θ(nlgn)\lg{(n!)}=\Theta(n\lg{n})。

lg(n!)=lg(2πn−−−√(ne)n(1+Θ(1n)))=lg2πn−−−√+nlgne+lg(1+Θ(1n))=Θ(lgn−−√)+Θ(nlgn)+Θ(1n)=Θ(nlgn)\begin{aligned}
\lg{(n!)}&=\lg{(\sqrt{2\pi n }(\frac{n}{e})^{n}(1+\Theta(\frac{1}{n})))}\\
&=\lg{\sqrt{2\pi n}}+n\lg{\frac{n}{e}}+\lg{(1+\Theta(\frac{1}{n}))}\\
&=\Theta(\lg{\sqrt{n}})+\Theta(n\lg{n})+\Theta(\frac{1}{n})\\
&=\Theta(n\lg{n})
\end{aligned}

证明 n!=o(nn),n!=ω(2n)n!=o(n^{n}),n!=\omega(2^{n})

∀n>1:n!=1⋅2⋅⋯⋅n<n⋅n⋅⋯⋅n=nn⇒n!=o(nn)\forall n>1:n!=1·2·\dots ·n

∀n>3:n!=1⋅2⋅⋯⋅n>2⋅2⋅⋯⋅2=2n⇒n!=ω(2n)\forall n>3:n!=1·2·\dots ·n>2·2·\dots ·2=2^{n}\Rightarrow n!=\omega(2^{n})

得证。

3.2-4

首先定义一个多项式有界函数：f(n)≤cnkf(n)\leq cn^{k}，两边分别取对数有 lgf(n)≤lgc+klgn\lg{f(n)}\leq \lg{c}+k\lg{n}。因此，当 lgf(n)=Θ(lgn)\lg{f(n)}=\Theta(\lg{n}) 时，此多项式函数有界。

设 m=⌈lgn⌉m=\lceil \lg{n}\rceil，由等式3.193.19有 lgm!=Θ(mlgm)=Θ(⌈lgn⌉lg⌈lgn⌉)\lg{m!}=\Theta(m\lg{m})=\Theta(\lceil \lg{n}\rceil \lg{\lceil \lg{n}\rceil})，因此不是多项式有界。

设 p=⌈lglgn⌉p=\lceil \lg{\lg{n}}\rceil

lgp!=Θ(plgp)=Θ(⌈lglgn⌉lg⌈lglgn⌉)=Θ(lglgnlglglgn)=o(lglgnlglgn)=o(lg2lgn)=o(lgn)\begin{aligned}
\lg{p!}&=\Theta(p\lg{p})\\
&=\Theta(\lceil \lg{\lg{n}}\rceil \lg{\lceil \lg{\lg{n}}\rceil})\\
&=\Theta(\lg{\lg{n}}\lg{\lg{\lg{n}}})\\
&=o(\lg{\lg{n}}\lg{\lg{n}})\\
&=o(\lg^2{\lg{n}})=o(\lg{n})
\end{aligned}

因此是多项式有界。

3.2-5

第二个更大。

3.2-6

此题自己带进去算一算即可。

3.2-7

当 i=0i =0 时，F0=ϕ0−ϕ0^5√=0F_0=\frac{\phi^{0}-\hat{\phi^{0}}}{\sqrt{5}}=0 成立；

当 i=1i=1 时，F1=ϕ1−ϕ1^5√=1F_1=\frac{\phi^{1}-\hat{\phi^{1}}}{\sqrt{5}}=1 成立；

设当 i≤ki\leq k 时也成立，则当 i=k+1i=k+1 时有：

Fk+1=Fk+Fk−1=ϕk−ϕ^k5√+ϕk−1−ϕ^k−15√=ϕk−1(1+ϕ)−ϕ^k−1(1+ϕ^)5√=ϕk−1ϕ2−ϕ^k−1ϕ2^5√=ϕk+1−ϕ^k+15√\begin{align}
F_{k+1}&=F_k+F_{k-1}=\frac{\phi^{k}-\hat{\phi}^{k}}{\sqrt{5}}+\frac{\phi^{k-1}-\hat{\phi}^{k-1}}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^{k-1}(1+\phi)-\hat{\phi}^{k-1}(1+\hat{\phi})}{\sqrt{5}}\\
&=\frac{\phi^{k-1}\phi^{2}-\hat{\phi}^{k-1}\hat{\phi^{2}}}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^{k+1}-\hat{\phi}^{k+1}}{\sqrt{5}}
\end{align}

得证（此证明的是数学归纳法的其中一种形式）。

3.2-8

由对称性有：

n=Θ(klnk)⇒lnn=Θ(ln(klnk))=Θ(lnk+lnlnk)=Θ(lnk)n=\Theta(k\ln{k})\Rightarrow ln{n}=\Theta(\ln{(k\ln{k})})=\Theta(\ln{k}+\ln{\ln{k}})=\Theta(\ln{k})。

所以 nlnn=Θ(klnk)Θ(lnk)=Θ(k)\frac{n}{\ln{n}}=\frac{\Theta(k\ln{k})}{\Theta(\ln{k})}=\Theta(k)，再由对称性得 k=Θ(nlnn)k=\Theta(\frac{n}{\ln{n}})。