DP问题之最优加法序列
2015-08-09 10:11
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题目:有一个由1..9组成的数字串.问如果将m个加号插入到这个数字串中.使得所形成的算术表达式的值最小?例如这个数字串为12345,加号数为1时,最小值就是123+45=168;加法数为2时,最小值就是12+34+5=51,加法数为3时,最小值为12+3+4+5=24。
解题思路:
先找到定量。这一题中的定量是什么呢?因为是添入加号,那么添完加号后,表达式的最后一定是个数字串,这就是定量.从这里入手,不难发现可以把以前状态认为是在前i个字符中插入k-1个加号(这里的i是当作决策在枚举),然后i+1到最后一位一定是整个没有被分割的数字串,第k个加号就添在i与i+1个数字之间.这样就构造出了整个数字串的最优解.而至于前i个字符中插入k-1个加号,这又回到了原问题的形式,也就是回到了以前状态,所以状态转移方程就能很快的构造出来了.
用f[i,j],表示的是在前i个字符中插入j个加号能达到的最小值,最后的答案也就是F[length(s),m].
于是就有一个动规的方程: F[i,j]:=min(f[i,j],f[k,j-1]+num[k+1,i]) num[k+1,i]表示k+1位到i位所形成的数字.这里显然是把加号插入了第k+1个位置上.
如下图所示
![](http://img.blog.csdn.net/20150809150052714?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)
num[i,j]表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度为O(j-i+1)
总时间复杂度: O(strlen(str)^2*m);
递推DP代码
递归记忆化
解题思路:
先找到定量。这一题中的定量是什么呢?因为是添入加号,那么添完加号后,表达式的最后一定是个数字串,这就是定量.从这里入手,不难发现可以把以前状态认为是在前i个字符中插入k-1个加号(这里的i是当作决策在枚举),然后i+1到最后一位一定是整个没有被分割的数字串,第k个加号就添在i与i+1个数字之间.这样就构造出了整个数字串的最优解.而至于前i个字符中插入k-1个加号,这又回到了原问题的形式,也就是回到了以前状态,所以状态转移方程就能很快的构造出来了.
用f[i,j],表示的是在前i个字符中插入j个加号能达到的最小值,最后的答案也就是F[length(s),m].
于是就有一个动规的方程: F[i,j]:=min(f[i,j],f[k,j-1]+num[k+1,i]) num[k+1,i]表示k+1位到i位所形成的数字.这里显然是把加号插入了第k+1个位置上.
如下图所示
num[i,j]表示从第i个数字到第j个数字所组成的数。数字编号从1开始算。此操作复杂度为O(j-i+1)
总时间复杂度: O(strlen(str)^2*m);
递推DP代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> const int inf=0x7fffffff; //代表long int的最大值 using namespace std; char str[100]; int f[100][100]; //f[i,j],表示的是在前i个字符中插入j个加号能达到的最小值,最后的答案也就是F[length(s),m]. int m,n; //m代表加号个数,n代表数组长度 int change(int x,int y) { int sum=0; while(x<=y) { sum=sum*10+str[x++]-'0'; } return sum; } int main() { int i,j,k; while(scanf("%s%d",str+1,&m)!=EOF) { n=strlen(str+1); //数组是从str[1]开始的 memset(f,0,sizeof(f)); for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) f[i][j]=inf; for(i=1;i<=n;++i) f[i][0]=change(1,i); for(i=1;i<=n;++i) for(j=1;j<=m;++j) for(k=1;k<=i;++k) { f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+change(k+1,i)); } // for(i=1;i<=n;++i) // for(j=1;j<=m;++j) // printf("%d%s",f[i][j],j==m?"\n":" "); printf("%d\n",f [m]); } return 0; }
递归记忆化
</pre><pre name="code" class="cpp">#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> using namespace std; const int inf = 0x7fffffff; //代表long int的最大值 int n, m; char str[1005]; int dp[105][105]; int chartoint(int l, int r) { int sum = 0; for(int i = l; i <= r; i++){ sum = 10 * sum + str[i]-'0'; } return sum; } int Dfs(int pos, int sub) { if(pos == n) return 0; if(sub == 0) return chartoint(pos, n-1); if(dp[pos][sub] != -1) return dp[pos][sub]; dp[pos][sub] = inf; for(int i = pos; i < n-sub; i++){ int sum = Dfs(i+1, sub-1) + chartoint(pos, i); if(sum < dp[pos][sub]){ dp[pos][sub] = sum; } } return dp[pos][sub]; } int main() { while(cin>>str>>m){ n=strlen(str); memset(dp, -1, sizeof(dp)); cout<<Dfs(0, m)<<endl; } return 0; }
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