【背包问题】【出来混总是要还的...】总结+入门练手题

花了一晚上加一早上研究背包，唉一大把年纪了才狠下心弄dp也确实说不过去的......

背包入门当然还是看背包九讲（链接很多，没找到原作的，就随便贴一个链接了...），我再扯也是班门弄斧，只是贴一些摘要以及写代码时候的总结吧。

01背包：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是val[i]，每种只有一件。求解将哪些物品装入背包可使价值总和max_val最大。

max_val[i][j] -->  dp[i][j] ： 从前i个物品中选择重量不超过j的物品时的最大价值；

max_val[i][0] = max_val[0][j] = 0; ( i~{1,N}, j~{0,V}; )

只考虑第i件物品的策略
max_val[i][j] =  ① max_val[i-1][j]; 　　　　　　　　　　　　　　　　     j > v[i]
   　　　　　　   ② max{ max_val[i-1][j], max_val[i-1][j-v[i]]+val[i] }; j <= v[i];

②的判断过程：1) 计算不放入该物品时该重量的最大价值;
                    2) 计算当前物品的价值 + 可以容纳的剩余重量的最大价值;
                    3) 找到二者之中的最大值。
解决了所有的子问题之后，返回max_val
[W]的值——N件物品重量为W时最大价值；

状态转移方程也可以用一维数组表示（切记01背包是逆序求解，稍后的完全背包是顺序求解）:

void zero_one_pack(int cost, int value)
{
for(int i = sum;i >= cost;i--)
dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost]+value);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
zero_one_pack(v[i], val[i]);
}

完全背包： 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是v[i]，价值是val[i]。求将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量，且价值总和最大。

基本跟01背包一个思路，只不过多了些变化：

max_val[i][j] -->  dp[i][j] ： 从前i个物品中选择重量不超过j的物品时的最大价值；

max_val[i][0] = max_val[0][j] = 0; ( i~{1,N}, j~{0,V}; )

只考虑第i件物品的策略
max_val[i][j] =  ① max_val[i-1][j]; 　　　　　　　　　　　　　　　　     j > v[i]
   　　　　　　   ② max{ max_val[i-1][j-k*v[i]]+k*val[i] | k >= 0 };

                        =max{ max_val[i-1][j], max{max_val[i-1][j-k*v[i]]+k*val[i] | k >= 1} };

　　　　　　　　  =max{ max_val[i-1][j], max{max_val[i-1][(j-v[i])-k*v[i]]+ val[i] + k*val[i] | k >= 0} };

　　　　　　　　  =max{ max_val[i-1][j], max{max_val[i-1][(j-v[i])-k*v[i]] + k*val[i] | k >= 0} + val[i] };

     　　　　　　   =max{ max_val[i-1][j], max_val[i][j-v[i]] + val[i] };

注意与01背包的区别--01背包的第一维是i-1，而完全背包的第一维是i；因此完全背包的一维数组表示时是顺序求解；

void complete_pack(int cost,int value)
{
for(int i = cost; i <= sum; i++)
dp[i] = max(dp[i], dp[i-cost]+value);
}

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
complete_pack(v[i], val[i]);
}

多重背包：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件体积是v[i]，价值是val[i];
①基本算法

max_val[i][j] =  ① max_val[i-1][j]; 　　　　　　　　　　　　　　　　     j > v[i]
   　　　　　　   ② max{ max_val[i-1][j-k*v[i]]+k*val[i] | 0<=k<=n[i] };

                        =max{ max_val[i-1][j], max{max_val[i-1][j-k*v[i]]+k*val[i] | 1<=k<=n[i]} };

　　　　　　　　  =max{ max_val[i-1][j], max{max_val[i-1][(j-v[i])-k*v[i]]+ val[i] + k*val[i] | 0<=k<n[i]} };

　　　　　　　　  =max{ max_val[i-1][j], max{max_val[i-1][(j-v[i])-k*v[i]] + k*val[i] | 0<=k<n[i]} + val[i] };

     　　　　　　   =max{ max_val[i-1][j], max_val[i][j-v[i]] + val[i] };

复杂度是O(V*Σn[i])

② 转化为01背包问题：把每种物品的n[i]件看成n[i]件01背包中不同的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度也是O(V*Σn[i])

eg. hdu-2191

/*
Problem: hdu2159
Tips   : 二维费用完全背包 Dyadic_Complete_Pack
Date   : 2015.8.8
*/
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define _cle(m, a) memset(m, a, sizeof(m))
#define repu(i, a, b) for(int i = a; i < b; i++)
#define repd(i, a, b) for(int i = b; i >= a; i--)
#define sfi(n) scanf("%d", &n)
#define sfl(n) scanf("%I64d", &n)
#define pfi(n) printf("%d\n", n)
#define pfl(n) printf("%I64d\n", n)
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 105;
int n, m, k, s;
int dp[maxn][maxn]; //dp[i][j]i忍耐度,j杀怪数,经验值

void Dyadic_Complete_Pack(int a, int b)
{
for(int i = b; i <= m; i++)
for(int j = 1; j <= s; j++)
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-b][j-1]+a);
}

int main()
{
while(~scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &s))
{
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= k; i++)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
Dyadic_Complete_Pack(a, b);
}
if(dp[m][s] < n)
printf("-1\n");
else
{
int ans = 0;
for( ; ans <= m; ans++)
if(dp[ans][s] >= n)
break;
printf("%d\n", m-ans);
}
}
return 0;
}

更多拓展，日后边做边积累~