HDU2.1.7 Leftmost Digit
2015-08-08 17:20
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看到这么大的数据,本来第一反应是高精度,但是感觉10亿的10亿次还是会爆的,于是又想了很久,但是实在想不出,于是只好去其他博客里看看解答。
看完了解答真是忍不住拍手喝彩,这就是数学境界的差距。
假设M=N^N,那么题目就是要求M的第一位数字,两边求log(10为底数),于是log(10)M=Nlog(10)N,于是M=10^(Nlog(10)N),由于10的整数次方必然是1000···0,最高位一定是1,故而是看Nlog(10)N的小数部分,于是取出小数部分P,再求10^P再取整即为最高位的数字。
网上偶然发现的牛人的结题报告,很好懂:
题目大意是输入N,求N^N的最高位数字。1<=N<=1,000,000,000
估计大家看到N的范围就没想法了。
确实N的数字太大,如果想算出结果,即使不溢出也会超时。
题目是这样转化的。
首先用科学计数法来表示 N^N = a*10^x;
比如N = 3; 3^3 = 2.7 * 10^1;
我们要求的最右边的数字就是(int)a,即a的整数部分;
OK, 然后两边同时取以10为底的对数 lg(N^N) = lg(a*10^x) ;
化简 N*lg(N) = lg(a) + x;
继续化 N*lg(N) - x = lg(a)
a = 10^(N*lg(N) - x);
现在就只有x是未知的了,如果能用n来表示x的话,这题就解出来了。
又因为,x是N^N的位数减一,也可以看成比N^N小并且最接近的100···0的形式中的0的个数。
比如 N^N = 1200 ==> 最接近的是1000,有3个0 ==> x = 3;
实际上就是 x 就是lg(N^N) 向下取整数,表示为[lg(N^N)]
a = 10^(N*lg(N) - [lg(N^N)]);
然后(int)a 就是答案了。
代码如下:
看完了解答真是忍不住拍手喝彩,这就是数学境界的差距。
假设M=N^N,那么题目就是要求M的第一位数字,两边求log(10为底数),于是log(10)M=Nlog(10)N,于是M=10^(Nlog(10)N),由于10的整数次方必然是1000···0,最高位一定是1,故而是看Nlog(10)N的小数部分,于是取出小数部分P,再求10^P再取整即为最高位的数字。
网上偶然发现的牛人的结题报告,很好懂:
题目大意是输入N,求N^N的最高位数字。1<=N<=1,000,000,000
估计大家看到N的范围就没想法了。
确实N的数字太大,如果想算出结果,即使不溢出也会超时。
题目是这样转化的。
首先用科学计数法来表示 N^N = a*10^x;
比如N = 3; 3^3 = 2.7 * 10^1;
我们要求的最右边的数字就是(int)a,即a的整数部分;
OK, 然后两边同时取以10为底的对数 lg(N^N) = lg(a*10^x) ;
化简 N*lg(N) = lg(a) + x;
继续化 N*lg(N) - x = lg(a)
a = 10^(N*lg(N) - x);
现在就只有x是未知的了,如果能用n来表示x的话,这题就解出来了。
又因为,x是N^N的位数减一,也可以看成比N^N小并且最接近的100···0的形式中的0的个数。
比如 N^N = 1200 ==> 最接近的是1000,有3个0 ==> x = 3;
实际上就是 x 就是lg(N^N) 向下取整数,表示为[lg(N^N)]
a = 10^(N*lg(N) - [lg(N^N)]);
然后(int)a 就是答案了。
代码如下:
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int T; cin>>T; while(T--){ unsigned long long N; scanf("%llu",&N); double k=N*log10(N)-(unsigned long long)(N*log10(N)); int res=(int)(pow(10,k)); printf("%d\n",res); } return 0; }
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