层次分析法建模

层次分析法建模

1：他针对 的问题是：适合解决定性的问题， 适合为多目标，多准则而无结构特性的复杂问题作出决策。它主要是利用利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化。

2：利用层次分析法建模最重要的得到成对比较矩阵，这个矩阵元素的由来，数据的合理性，首先要保证数据在1~9之间，或者1/1,1/2

1/3,1/5等等，不能出现3/5这些用结果得到的结果的数据。

3：层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。

下面是层次建模的步骤：

1：建立层次结构模型 ：

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

最高层：决策的目的、要解决的问题。

最低层：决策时的备选方案。

中间层：考虑的因素、决策的准则。

2：构造判断(成对比较)矩阵

考虑完全一致的情况：

一致阵性质：

1：A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

2：非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量

考虑不完全一致的情况：

对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A， Saaty等人建议用对应于最大特征根

的特征向量作为权向量w
，即

Aw=

w

3. 层次单排序及其一致性检验

对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。

W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。

定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n

定理：n 阶正互反阵A的最大特征根

>=n, 当且仅当


=n时A为一致阵。

有定理得：λ 比n 大的越多，A 的不一致性越严重。

定义一致性指标:CI = (

-n)/(n-1);

CI=0，有完全的一致性

CI接近于0，有满意的一致性

CI 越大，不一致越严重

为衡量CI 的大小 随机一致性指标 RI。

如何引入随机性指标：方法

随机构造500个成对比较矩阵 则可得一致性指标

结果如下：

说明：n是阶数，当n=4时，就会随机产生500个成对比矩阵，测出CI，求平均值，作为衡量标准

定义一致性比率 ：

一般，当一致性比率 有满意的一致性，通过一致性检验。

否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。

以下是简化计算



说明：这个简化计算，先算最大特征根对应的特征向量，在算特征根，算完之后才进行一致性检验。

4. 层次总排序及其一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。

这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的



B层的层次总排序为：

即 B 层第 i 个因素对总目标

其实可以写成矩阵的乘积。

则层次总排序的一致性比率为：



说明：设 B 层 B1，B2，,,,Bn; 对上层A层(A1,A2,,,,Am)中因素

的层次单排序一致性指标为 CI(i),随机一致性指为 RI(i);

当 CR<0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高(除了B层对A层外，还有A层对目标层）的判断矩阵的元素取值。



若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。