组合数学之母函数问题

母函数问题是组合数学中非常经典的问题，大概是本科二年级的课程，很有意思的一门课，当然也是很精深的一门课。

定义

对于序列a0，a1，a2，…构造函数G(x)：




则称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数。

很明显，根据二项展开式，很容易知道(1+x)^n是序列C(n,0),C(n,1),…,C(n,n)的母函数。如果已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。 将序列a0，a1，a2，…记为{an}

Example

砝码问题

经典的母函数问题就是砝码问题，即若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

利用母函数，可以轻松求解该问题。

考虑构造母函数，用x的指数表示称出的质量，则：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x^2表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x^3表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x^4表示，

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)( 1+x^2)( 1+x^3)( 1+x^4),将该式子展开，x的指数表示可以称出的重量，其系数表示该种重量的方案数。

邮票问题

砝码问题指定了每种砝码的数量，还有一个经典的问题就是邮票问题，即求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。

与砝码问题所不同的是，邮票允许重复，所以构造的母函数也就不同，




这一类问题，常常涉及到“整数拆分”的概念。所谓的“整数拆分”就是把一个整数分解成若干个整数的和，其实就相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多个球。整数拆分成若干个整数的和，不同拆分法的总数叫做拆分数。

以上述的邮票问题为例，将上式展开后，以x^4为例，其系数为4，即将4拆分成1、2、3的拆分数是4，即4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2.

编码实现

对于母函数这一类问题，其实求解的思路很清晰，最关键的问题就是如何模拟多项式的展开。

以邮票问题为例，编码实现。输入为一个整型数值n，输出用1分、2分、3分…n分的邮票组合出数值n的方案数。

/*
    Name: 
    Copyright: 
    Author: Lijiansong
    Date: 06/08/15 17:38
    Description: 
    组合数学，母函数问题，求用1分、2分、3分、4分等的邮票贴出数值n的方案数。
*/
#include<iostream>
using namespace std;
const int num=10000;
// c1表示各项质量砝码可以组合的数目
// c2是中间量，表示每一次的情况
int c1[num+1],c2[num+1];
int main(){
    int n,i,j,k;
    while(cin>>n){//n表示待组合的数值 
        for(i=0;i<=n;++i){
    //1+x+x^2+x^3+...+x^n初始化，将质量从0-n的所有砝码初始化为1 
            c1[i]=1;
            c2[i]=0;
        }
        for(int i=2;i<=n;++i){//i从2遍历到n,表示第i个表达式 
            for(j=0;j<=n;++j)
//j从0遍历到n,j表示在第i个表达式里的第j个变量
                  for(k=0;k+j<=n;k+=i){
//k表示的是第j个指数,k每次递增i(因为第i个表达式的增量是i)
                    c2[j+k]+=c1[j];
                 }
            for(j=0;j<=n;++j){
//将c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的
                    c1[j]=c2[j];
                    c2[j]=0;
                 }
        }
        cout<<c1
<<endl;
    } 
    return 0;
}