纸牌博弈问题

题目：有一个整型数组A，代表数值不同的纸牌排成一条线。玩家a和玩家b依次拿走每张纸牌，规定玩家a先拿，玩家b后拿，但是每个玩家每次只能拿走最左或最右的纸牌，玩家a和玩家b都绝顶聪明，他们总会采用最优策略。请返回最后获胜者的分数。给定纸牌序列A及序列的大小n，请返回最后分数较高者得分数(相同则返回任意一个分数)。

测试样例：

[1,2,100,4],4

返回：101

解析：

a和b都是绝顶聪明，他们每次拿元素时，肯定是按对自己最有力的方式拿。该题目先由最普通的递归解法，然后进行优化，到动态规划。

递归方式，对数组arr，元素数为n。

F(arr, l , r)表示对于数组arr，元素从l到r，先拿可以达到的最大分数；

S(arr, l, r)表示对于数组arr, 元素从l到r，后拿可以达到的最大分数。

对于F(arr, l, r)，先拿时，有两种拿法，拿第一个arr[l]，或最后一个arr[r]；如果拿arr[l]，那么剩余的arr[l+1,....r]能拿到的最大分数为S(arr, l+1, r)，分数为arr[l] +S(arr, l+1, r)； 如果拿arr[r]，剩余的arr[l, ...r-1]能拿到的最大分数为S(arr, l, r-1)，分数为arr[r] + S(arr, l, r-1)，因为对于先拿后剩余的数组，当前人再拿的话是后拿的，然后取这两种拿法较大的分数。

对于S(arr, l, r)，如果前一个人先拿了arr[l]，则后拿的分数为F(arr, l+1, r)，如果前一个人先拿了arr[r]，则后拿的分数为F(arr, l, r-1)，因为对于剩余的元素来说，你是先拿的，取两种方式的较小值才是S的值。（为什么取较小值，而不是较大值？因为a和b都是绝顶聪明人，你是在另一个绝顶聪明人之后才拿的，他给你剩下的肯定是较坏的情况）

递归实现的方式如下，可以再进行动态规划方式的优化，接下来再讲。

/* 返回较大值 */
int Max(int a, int b)
{
return ((a > b) ? a : b);
}

/* 返回较小值 */
int Min(int a, int b)
{
return ((a < b) ? a : b);
}

/* 对数组arr，从l到r元素，先拿的最大分数 */
int F(int arr[], int l, int r)
{
if (l == r)
{
return arr[l];
}
return Max(arr[l] + S(arr, l+1, r), arr[r] + S(arr, l, r-1));
}

/* 对数组arr，从l到r元素，后拿的最大分数 */
int S(int arr[], int l, int r)
{
if (l == r)
{
return 0;
}
return Min(F(arr, l+1, r), F(arr, l, r-1));
}

int FindWinnerScore(int arr[], int l, int r)
{
int A_score = 0;
int B_score = 0;
A_score = F(arr, l, r);
B_score = S(arr, l, r);
return ((A_score > B_score) ? A_score : B_score);
}

态规划定义了两个表F和S，F[i][j]表示arr[i...j]先拿的最大分数，S[i][j]表示arr[i...j]后拿的最大分数。最终比较F[0][n-1]和S[0][n-1]的值，返回较大的即可。

在遍历填写两个表之前，我们可以对表进行初始化。初始化后，可以按列进行遍历，行从最后一个开始，因为每个F[i][j]和S[i][j]的值都是由F[i+1][j]、F[i][j-1]或S[i+1][j]、S[i][j-1]得到的。

动态规划的代码如下：

int DP(int arr[], int n)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    int** F = NULL;
    int** S = NULL;
    F = (int**)malloc(sizeof(int*)*n);
    S = (int**)malloc(sizeof(int*)*n);

    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        F[i] = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
        S[i] = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
    }

    /* 初始化 */
    F[0][0] = arr[0];
    S[0][0] = 0;
    F[n-1][n-1] = arr[n-1];
    S[n-1][n-1] = 0;
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        F[i][0] = 0;
        S[i][0] = 0;
    }
    for (i = 0; i < n-1; i++)
    {
        F[n-1][i] = 0;
        S[n-1][i] = 0;
    }

    for (j = 1; j < n; j++)
    {
        for (i = n-2; i >= 0; i--)
        {
            if (i <= j)
            {
                F[i][j] = Max(arr[i] + S[i+1][j], arr[j] + S[i][j-1]);
                S[i][j] = Min(F[i+1][j], F[i][j-1]);
            }
            else
            {
                F[i][j] = 0;
                S[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    return Max(F[0][n-1], S[0][n-1]);
}