[BZOJ2818]Gcd

原题地址

题目大意：给定整数N，求x,y∈[1,N]且gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对(N≤107).

做法：用筛法Θ(n)求出素数表和欧拉函数表以后，一切都变得很简单了，所以主要讲一下筛法.

Θ(n)素数筛原理：对于一个合数n,总能唯一表示成n=p×m的形式，其中p是n的最小质因子.

Θ(n)筛法求欧拉函数的原理：对于一个合数n，ϕ(n)总能唯一表示成ϕ(p×m)的形式，其中p是n的最小质因子.

然后根据欧拉函数性质：

ϕ(n)={ϕ(np)×p (npmod p=0)ϕ(np)×(p−1) (npmod p≠0)

为什么？你想一下通式…

然后就可以同时求质数表和欧拉函数了，具体见下面代码.

AC code:

#include <cstdio>
typedef long long ll;
const int N=10000010;
int  n,tot;
int  prime
,phi
;
bool flag
;
ll   ans;
ll   S
;

int main(){
scanf("%d",&n);
phi[1]=S[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!flag[i]){
prime[++tot]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
flag[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
else{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
}
}
for(int i=2;i<=n;i++) S[i]=S[i-1]+(phi[i]<<1);
for(int i=1;i<=tot;i++) ans+=S[n/prime[i]];
printf("%lld\n",ans);

return 0;
}