[计算几何初步]

[计算几何笔记]
--概念篇
向量点积：
也称向量内积，数量积，即a·b=(a,b)·(c,d)=ac+bd
向量内积的物理意义是b向量在a向量方向上的投影长度*a向量的模
故向量内积有性质：a·b=|a|*|b|*cosα
所以向量的模|a|=sqrt(a·a)
用Dot（a，b）表示



向量夹角：
很显然，向量a与b夹角的余弦值cosβ=a·b/|a|*|b|
向量垂直：
数量积为0，则两向量垂直，即cosβ=0，所以定义为向量点积为0；
向量的方向向量：
即a/|a|
向量的投影：
向量b在a上投影的模为a·b/|a|，那么向量b在a上投影向量为a·b/|a|
* (a/|a|)
化简一下就是|a|*|b|*cosβ/|a|*
a/|a|= a*|b|cosβ/|a|，也不算化简了。因为平常都写向量内置函数的。

向量的对称：
如下图，用向量加减就好了



向量叉积：
也称向量外积，
|a×b|=|a|·|b|·Sin<a,b>.
公式为a*b=x1y2-x2y1
向量外积代表的是向量a与向量b所构成的平行四边形的有向面积
也是构成的三角形面积的两倍
其符号为，若b在a的逆时针方向，那么a×b>0
用Cross（a，b）表示



向量的旋转方向：
如果b在a的逆时针方向，那么cross（a，b）>0，也就是向左旋转

Q：如果我想把一个向量逆时针旋转α度，该怎么计算？
我们知道，如果要把向量a旋转到向量b，旋转α度
带着向量模很不好计算的吧~所以我们用a的方向向量来旋转，最后乘以向量模√
既然a是单位向量，那么a=（x1,y1），则有x1=Cosβ，y1=Sinβ
b向量即为（Cos（α+β），Sin（α+β））
根据三角函数展开，有
x2=cosαcosβ-sinαsinβ y2=sinαcosβ+cosαsinβ
1cosα-y1sinαy2=x1sinα+y1cosα
即a向量（x1，y1）*矩阵（矩阵详见白书）



向量的极角：
即tan值，用atan2（y，x）
直线的表示：
用一个点+方向向量来表示
点到直线的距离：
根据数学我们有|Ax0+By0+C|/sqrt(A^2+B^2)
根据下图，我们可以在直线AB上取两点AB，我们可以求出|Cross（PA，PB）|，即△PAB的有向面积的两倍，除以AB的模就是PQ的长度



判断点是否在线段上：
如右图线段AB，如果点在直线上，显然有Cross（QA，QB）=0
我们需要判断点Q是否在线段AB上
对于线段AB和点Q，如果位置关系如下图





所示，那么A.x<Q.x<B.x，A.y<Q.y<B.y
但其实关系很复杂，我们知道不等关系用乘积来表示
很简单，所以我们有公式:
(Q.x-A.x)*(Q.x-B.x)<0
(Q.y-A.y)*(Q.y-B.y)<0
酱紫就可以简单地判断点是否在线段上了
求一个点到线段的最小距离：
喵，过点P作一条垂线，我们的任务就是判断点Q是否
在线段AB上，如果Q在AB上，那么距离就是|PQ|，否则是
min(|PA|,|PB|)



下面来复习一些几何知识。附例题：
求三角形的重心：（A+B+C）/3（向量）
ProblemA：
给你三个定点，求过三个点的圆。
ProblemB：
给你三个凸四边形三条相等边上的中点坐标，你要还原这个凸四边形，输出四个顶点的坐标。

解两个问题都可以有两种方法：
1.设未知数解方程（高斯消元orz）
2.运用几何知识求解（数学orz）

凸多边形的三角剖分：
我们用有向面积来计算，最后会神奇的抵消一些面积，正好剩下凸多边形的面积（前提是点应该是有序的）

凸包、旋转卡壳