poj 2947 高斯消元求解方程组取模
2015-08-04 23:08
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题意:
(mat[1][1]*x[1] + mat[1][2]*x[2] + … + mat[1]
*x
)%7 =mat[1][n+1]
(mat[2][1]*x[1] + mat[2][2]*x[2] + … + mat[2]
*x
)%7 =mat[2][n+1]
…
…
(mat[m][1]*x[1] + mat[m][2]*x[2] + … + mat[m]
*x
)%7 =mat[m][n+1]
求这个方程组的解。
有唯一解输出唯一解。
无解Inconsistent data.
无穷多组解Multiple solutions.
解析:
高斯消元,每次mod 7.
代码:
(mat[1][1]*x[1] + mat[1][2]*x[2] + … + mat[1]
*x
)%7 =mat[1][n+1]
(mat[2][1]*x[1] + mat[2][2]*x[2] + … + mat[2]
*x
)%7 =mat[2][n+1]
…
…
(mat[m][1]*x[1] + mat[m][2]*x[2] + … + mat[m]
*x
)%7 =mat[m][n+1]
求这个方程组的解。
有唯一解输出唯一解。
无解Inconsistent data.
无穷多组解Multiple solutions.
解析:
高斯消元,每次mod 7.
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <stack> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <climits> #include <cassert> #define LL long long using namespace std; const int inf = 0x3f3f3f3f; const double eps = 1e-8; const double pi = 4 * atan(1.0); const double ee = exp(1.0); const int maxn = 1000 + 10; int a[maxn][maxn]; //增广矩阵 int x[maxn]; //解集 bool freeX[maxn]; //标记解是否是自由变元 int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a, b) * b; } //高斯消元解方程组 //返回值-2表示有浮点数解,无整数解 //返回值-1表示无解,0表示有唯一解,大于0表示有无穷解,返回自由变元个数 //有equ个方程,var个变元 //增广矩阵行数[0, equ - 1] //增广矩阵列数[0, var] int gauss(int equ, int var) { for (int i = 0; i <= var; i++) { x[i] = 0; freeX[i] = true; } //转换为阶梯矩阵 //col表示当前正在处理的这一列 int col = 0; int row = 0; //maxR表示当前这个列中元素绝对值最大的行 int maxRow; for (; row < equ && col < var; row++, col++) { //枚举当前正在处理的行 //找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换 maxRow = row; for (int i = row + 1; i < equ; i++) { if (abs(a[maxRow][col]) < abs(a[i][col])) { maxRow = i; } } if (maxRow != row) { //与第row行交换 for (int j = row; j < var + 1; j++) { swap(a[row][j], a[maxRow][j]); } } if (a[row][col] == 0) { //说明该col列第row行以下全是0,处理当前行的下一列 row--; continue; } for (int i = row + 1; i < equ; i++) { //枚举要删的行 if (a[i][col] != 0) { int LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[row][col])); int ta = LCM / abs(a[i][col]); int tb = LCM / abs(a[row][col]); //异号 if (a[i][col] * a[row][col] < 0) tb = -tb; for (int j = col; j < var + 1; j++) { a[i][j] = a[i][j] * ta - a[row][j] * tb; a[i][j] = (a[i][j] % 7 + 7) % 7; } } } } // //1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0). for (int i = row; i < equ; i++) { if (a[i][col] != 0) { return -1; } } // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵. // 出现的行数即为自由变元的个数. if (row < var) { // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个. for (int i = row - 1; i >= 0; i--) { // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行. // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的. // freeNum用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元. int freeNum = 0; int freeIndex = 0; for (int j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && freeX[j]) { freeNum++; freeIndex = j; } } if (1 < freeNum)// 无法求解出确定的变元. continue; // 说明就只有一个不确定的变元freeIndex,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的. int tmp = a[i][var]; for (int j = 0; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0 && j != freeIndex) { tmp -= a[i][j] * x[j]; } tmp = (tmp % 7 + 7) % 7; } x[freeIndex] = (tmp / a[i][freeIndex]) % 7; freeX[freeIndex] = false; } return var - row; } // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵. // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0. for (int i = var - 1; i >= 0; i--) { int tmp = a[i][var]; for (int j = i + 1; j < var; j++) { if (a[i][j] != 0) { tmp -= a[i][j] * x[j]; } tmp = (tmp % 7 + 7) % 7; } while (tmp % a[i][i] != 0) tmp += 7; x[i] = (tmp / a[i][i]) % 7; } return 0; } int fun(char s[]) { if(strcmp(s,"MON")==0) return 1; if(strcmp(s,"TUE")==0) return 2; if(strcmp(s,"WED")==0) return 3; if(strcmp(s,"THU")==0) return 4; if(strcmp(s,"FRI")==0) return 5; if(strcmp(s,"SAT")==0) return 6; return 7; } int main() { #ifdef LOCAL freopen("in.txt", "r", stdin); #endif // LOCAL int n, m; while (~scanf("%d%d", &n, &m)) { int equ = m, var = n; memset(a, 0, sizeof(a)); for (int i = 0; i < m; i++) { int t; char s[30]; char ss[30]; scanf("%d%s%s", &t, s, ss); a[i] = (((fun(ss) - fun(s) + 1) % 7) + 7) % 7; while (t--) { int x; scanf("%d", &x); x--; a[i][x] = (a[i][x] + 1) % 7; } } int ans = gauss(equ, var); if (ans == 0) { for (int i = 0; i < n; i++) { if (x[i] <= 2) { x[i] += 7; } } for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d%c", x[i], i == n - 1 ? '\n' : ' '); } else if (ans == -1) puts("Inconsistent data."); else puts("Multiple solutions."); } return 0; }
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