leetcode 233 Number of Digit One
2015-08-04 09:58
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这题属于需要找规律的题。先想一下最简单的情形:N = 10^n - 1
记X[i]表示从1到10^i - 1中 1 的个数,则有如下递推公式:X[i] = 10 * X[i - 1] + 10^(i - 1)
这个递推公式可以这么观察得到:
i = 0, X[0] = 0
i = 1, 从1到9, X[1] = 1
i = 2, 从1到99, X[2] = 20:可以设想,把所有数都写成两位数(比如1写成01, 2写成02),我们暂且不统计最高位的1, 则首先至少有10 * X[1]个1,然后我们考虑最高位的1,它只存在于11,12...19,也是10个
i = 3,从1到999,X[3] = ? : 同样先不统计最高位的1,首先至少有10 * X[2]个1,再统计最高位,应该还要加上100(10^(3-1))
逐步思考,通项公式就出来了:X[i] = 10 * X[i - 1] + 10^(i - 1)
记我们要求解的函数为f(x)
现在我们考虑一般的N,假设它表示成10进制有n位:a
a[n-1]...a[1]
用C[i]表示f(a[i]a[i-1]...a[1])的结果
递推过程仍旧类似,但此时每一位的上限有了限制,不能自由的从0到9取值
a[i] = 0时,C[i] = C[i - 1]
a[i] = 1时:C[i] = X[i - 1] + C[i - 1] + a[i-1]a[i-1]...a[1] + 1
a[i] > 1时:C[i] = a[i] * X[i - 1] + 10 ^(i - 1) + C[i - 1]
class Solution {
public:
int countDigitOne(int n) {
int base = 10;
vector<int> digits;
while (n >= 1) {
digits.push_back(n % base);
n /= base;
}
vector<int> nums;
int s = 0;
base = 1;
for (int i = 0; i < digits.size(); i++) {
s += base * digits[i];
nums.push_back(s);
base *= 10;
}
vector<int> C(digits.size() + 1, 0);
vector<int> X(digits.size() + 1, 0);
base = 1;
for (int i = 1; i < C.size(); i++) {
X[i] = 10 * X[i - 1] + base;
if (digits[i - 1] == 0) {
C[i] = C[i - 1];
}
else if (digits[i - 1] == 1) {
C[i] = X[i - 1] + C[i - 1] + 1 + (i > 1 ? nums[i - 2] : 0);
}
else {
C[i] = digits[i - 1] * X[i - 1] + C[i - 1] + base;
}
base *= 10;
}
return C[C.size() - 1];
}
};
记X[i]表示从1到10^i - 1中 1 的个数,则有如下递推公式:X[i] = 10 * X[i - 1] + 10^(i - 1)
这个递推公式可以这么观察得到:
i = 0, X[0] = 0
i = 1, 从1到9, X[1] = 1
i = 2, 从1到99, X[2] = 20:可以设想,把所有数都写成两位数(比如1写成01, 2写成02),我们暂且不统计最高位的1, 则首先至少有10 * X[1]个1,然后我们考虑最高位的1,它只存在于11,12...19,也是10个
i = 3,从1到999,X[3] = ? : 同样先不统计最高位的1,首先至少有10 * X[2]个1,再统计最高位,应该还要加上100(10^(3-1))
逐步思考,通项公式就出来了:X[i] = 10 * X[i - 1] + 10^(i - 1)
记我们要求解的函数为f(x)
现在我们考虑一般的N,假设它表示成10进制有n位:a
a[n-1]...a[1]
用C[i]表示f(a[i]a[i-1]...a[1])的结果
递推过程仍旧类似,但此时每一位的上限有了限制,不能自由的从0到9取值
a[i] = 0时,C[i] = C[i - 1]
a[i] = 1时:C[i] = X[i - 1] + C[i - 1] + a[i-1]a[i-1]...a[1] + 1
a[i] > 1时:C[i] = a[i] * X[i - 1] + 10 ^(i - 1) + C[i - 1]
class Solution {
public:
int countDigitOne(int n) {
int base = 10;
vector<int> digits;
while (n >= 1) {
digits.push_back(n % base);
n /= base;
}
vector<int> nums;
int s = 0;
base = 1;
for (int i = 0; i < digits.size(); i++) {
s += base * digits[i];
nums.push_back(s);
base *= 10;
}
vector<int> C(digits.size() + 1, 0);
vector<int> X(digits.size() + 1, 0);
base = 1;
for (int i = 1; i < C.size(); i++) {
X[i] = 10 * X[i - 1] + base;
if (digits[i - 1] == 0) {
C[i] = C[i - 1];
}
else if (digits[i - 1] == 1) {
C[i] = X[i - 1] + C[i - 1] + 1 + (i > 1 ? nums[i - 2] : 0);
}
else {
C[i] = digits[i - 1] * X[i - 1] + C[i - 1] + base;
}
base *= 10;
}
return C[C.size() - 1];
}
};
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