树的重心及其一些性质

重心的定义是：

找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡

(一)

树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。

(二)

把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。

(三)

把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。

练习一： POJ1655 

题意：求删除这个点后最大子树的节点数，以及这个点的编号，如果有多个点满足，求编号最小的点。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 20010*2;

struct nod{
int to,next;
}edge[maxn];

int son[maxn],head[maxn],ip,n;

int ans,num;

bool vis[maxn];

void init(){
num=maxn*maxn;
ip=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(head,-1,sizeof(head));
}

void add(int u,int v){
edge[ip].to=v;
edge[ip].next=head[u];
head[u]=ip++;
}

void dfs(int u){
vis[u]=1;
son[u]=0;
int maxson=0;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
int v = edge[i].to;
if(!vis[v]){
dfs(v);
son[u]+=son[v]+1;
maxson=max(maxson,son[v]+1);
}
}
maxson=max(maxson,n-son[u]-1);
if(maxson<num||maxson==num&&u<ans){
ans=u;
num=maxson;
}
}

int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
init();
for(int i=0;i<n-1;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
add(v,u);
}
dfs(1);
printf("%d %d\n",ans,num);
}
return 0;
}

练习二：POJ3107
题意：求一棵树的所有重心并从小到大输出

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1e5+10;

struct nod {
int to,next;
} edge[maxn];

int head[maxn],ans[50000];
int n,num,ip,maxsize;
int son[maxn];
bool vis[maxn];

void init() {
ip=0,num=0;
maxsize = maxn*1000;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(head,-1,sizeof(head));
}

void add(int u,int v) {
edge[ip].to=v;
edge[ip].next=head[u];
head[u]=ip++;
}

void dfs(int u) {
vis[u]=1;
son[u]=0;
int tmpmax=0;
for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next) {
int v = edge[i].to;
if(!vis[v]) {
dfs(v);
son[u]+=son[v]+1;
tmpmax=max(tmpmax,son[v]+1);
}
}
tmpmax = max(tmpmax,n-son[u]-1);
if(tmpmax < maxsize) {
num = 1;
ans[0] = u;
maxsize = tmpmax;
} else if(tmpmax == maxsize) {
ans[num++] = u;
}
}

int main() {
while(~scanf("%d",&n)) {
init();
for(int i=0; i<n-1; i++) {
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
add(v,u);
}
dfs(1);
sort(ans,ans+num);
for(int i=0; i<num-1; i++)
printf("%d ",ans[i]);
printf("%d\n",ans[num-1]);
}
return 0;
}