一阶谓词逻辑的几个系统(续)

一阶谓词逻辑的几个系统(续)
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杨安洲 (北京工业大学）

摘要：本文引进了几个系统，它们是通常的一阶谓词逻辑系统的几个扩充 ，一个是前人引进过的 ，其馀的全是新的。对概念的引进有改进，对重要的元定理给出的证明等等都是与通常的证明不完全的相同 、有改进，特别是引进了覆盖方法 ，还有对语法推理规则都做了新的规定、并对它的可靠性、完备性的证明有一个一下子一起给出的证明 。

本文是用集合论的语言（元语言）来叙述的几个一阶谓词逻辑系统，推广了通常的系统 ，是一些新的系统 ，对一些元定理给出了新的证明 ，也给出了一些新的语法推理规则使得对它们的可靠性、完全性的证明一下子得到一起的证明 ，还有虽然在有些系统中没有（或广义的）紧致性定理成立 ，可是有简化的推理规则成立，这样对推理有了更深的、新的认识，是前人所不知道的现象，在文末有一个说明 ，对它们作出应有的回观 .对集合论的语言可参看[1] ,对集论要有序数、基数、AC、GCH等，对已有的逻辑系统可参看[2] 、[3]
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论域（定义域 、宇 宙）：任给一个非空集 D 都可以作为论域 。对论域 D 上的从 Dn 到 {真（T、1), 假 (F、0）}上的任一函数叫做谓词 ，而这样的所有的函数叫做 秩为有限的n的谓词变元 ，记为 P（ ， ， ， ...）,而每一空位上可代入的是个体变元等等。对秩为无穷（空位数为无穷）的谓词变元 ，记为 P （ ， ， ...， ， ，......）等等 ，在下面的考虑中可以 只考虑到秩小于、等于ALEPH-N的情形 ，也可以是对秩没有作任何限制的。连结词有：
对变元取值为1、0 （真、假）的函数 MAX{P1，P2}记 作（ P1∨P2），MIN{P1，P2}记作 （P1∧P2），以及{P1,P2,...Pn,.....}的最大值与最小值记为∨（P1，P2，......）与∧（P1，P2，......），以及 {Pi: i在I 中} 的最大值与最小值记为∨{Pi:i 在 I中}与 ∧{Pi:i 在I中}，I 可以是一个给定无穷基数为ALEPH-M集 ，对变元P作 （1-P），记为（∽P），还有对从D到{1，0}上的函数 P（X ，......）的值集{P（X，......）：X在D中取值}的最大值与最小值记为 EX（P（X，......））与 AX（P（X，......）)，其中的个体变元X被称为是约束的（或约束出现）.个体变元有自由的、与约束的
，它们是一一对应的 ，其个数要有一定的大 ，还可能有个体常元（常项）、也可以没有，函数变元符号也是可有、可无的，等号也是可有、可无的，但是要有括号 （） 。 现在一个一个地引进 。 秩小于等于ALEPH-N（或秩没有限制的）的谓词变元的个数、个体变元（自由的与约束的）的个数都可有无穷多个、连接词可以都有、还有量词、还有刮号 ，从谓词变元中空位的地方代入自由个体变元之后得到原子公式，然后再用连接词、量词作用得到所有的表达式 ，把原子公式与它们放在一起作成L（1，1) ；从原子公式集出发经连接词、量词作用下得到的最小的封闭集
，记为 L（1，1），称它为第一个系统 。对任给的集 D ，D 上的 n 元 关系 Pn是从Dn(n次直积）到的 {1,0}函数，D 上的无穷次关系是从 D∞（无穷次直接积）到 {1,0} 的函数,对谓词变元对应到D 上的同秩的关系 ，自由变元对应到D中的元素 ，给一个这样的对应叫做对谓词变元、自由变元的一个解释 I，在对任一公式用任一解释I代入后可得到值为 1、或 0 ，这样就可把公式看成是定义在解释之上到 {1,0} 的函数了. 对L（1，1）中的 任 一公 式 集 F ，若有一个 解 释 I 使
得 对 F中 的任一 公 式 f 用 I 代 入 后 都有 值 为1（真、T），则 称 I 为 F 的 一个模型，或称 I 为 使 F 得到满 足；对 F 若有 F 的 模 型 存 在 ，则称 F 是可满足的、或协调的 。对公式集 F 可作出它的对应 ，对应到它的所有的模型所做成的集去 ，记为 MODEL（F）= { I: I是 F的模型 }, 永假 公 式 对应到 空 集 ，永真公式对应到由所有的解释所做成的集。语义推理的定义如下：若对公式集 F 与 公式 g 有 MODEL（F）被包含于MODEL（g）中，则
称 为 F 可语义地推出 g , 记为 F ∣= g , CN(F)= { g: F∣= g },CN 是 闭 包 算 子 。 公式集 F 可同时推出一个公式g 以及它的否定(∽g)，则称 F 是矛盾的，F 是不矛盾的当且仅当 F是协调的(F是可满足的） 。 对 系 统 L（1，1） 由任一解释 I代入公式成为从 L（1，1）到{0,1}的 同态对应，这个同态对应的壳（HULL）是 {g : g 是 L（1，1）中的公式且在 I 代入g 后其値为1 },记为 HULL（I），它是把 L（1，1）分为
两个互补的子集 ，一个是 HULL（I），以及它的 补集 L（1，1）- HULL（I）= { g: (∽g)εHULL(I)},HULL(I)是L（1，1）的一个具有性质 （1）-（3）的子集S ，性质（1）：对L（1，1）中任一公式g 与(∽g)，它们两个中有一个且 仅有一个在 S 中，性质（2）：S中任一公式都是可满足的 ，性质（3）：S 中任一有限子集都是可满足的。在 L（1，1）中 有 紧 致 性 定 理 成 立 ：对任一具有性质（2）、（3）的子集 S 来说都可以扩充到具有性质（1）、（2）、（3）的子集去
。其证明如下： 先把具有性质(2)、(3)的子集 S 固 定 ，然后作包含有 S在 内 的 具有性质 （2）、（3) 的 子 集 S1，具有性质（2）、（3）的 包含有 S1的子集 S2 ，......;对任一这样 的无限 链 ，其 并 集 也 是 具有性质（2）、（3）的子集 ，用 ZORN 引理（或 AC）得到包含S 的具有性质（2）、（3）的极大子集Ω，则这个 Ω就有性质（1）、（2）、（3），以Ω作为解释I的壳HULL（I），I 是Ω的模型 。由紧致性定理可得到语义推理时有简化为 有限个前提的推理（语义推理算子是代数闭包算子）：公式集 F可语义地推出公式 g当且仅当
在 F中存在有一个有限子集F1可语义地 推出 g .证明如下：假定 F |= g ,如 若 Y 的有限子集 F1 不能推出 g ,则 F1∪{ (∽g)}是可满足的 ，若它是不可满足的 则 F1∪{(∽g)}│= g ,F1│= g ,得到矛盾 ，当F的任一有限子集不能推出g时，则 F∪{(∽g)}的任一有限子集都是可以满足的 ，用紧致性定理 知F∪{(∽g)} 是可满足的，即有解释 I使得F与（∽g）都满足 ，在这个解释I下满足 F 而不满足 g ,这与 F∣= g 相 矛盾（证完） 。有了紧致性，可直接定义对L（1，1）的语法推理规则如下：从公式集F出发，从F中任取有限个 f1,f2,...fn
ε F,得到的 （f1 ∧f2∧ … ∧fn)∨g） （ g 为 L（1，1）中的任一公式 ）就是从F出发得到的所有的推论了，这个规则成立，它的可靠性、完全性成立从紧致性定理成立一下就知道了；对F是从（s∨∽s）出发的（或称从空集出发的），得到的全是永真公式。至于在一般文献中所说的语法推理规与这理所说的可能不一样 ，但它们说的与这里所说的容易知道它们是 等价的。 假如在L（1，1）中谓词变元的秩为≦ALEPH-N 而且 有秩为 ALEPH-N 的谓词变元 ，则在这样的系统 L（1，1）中有 L— S—T 定
理 ：若公式集F 中公式的个数（F的基数）≦ALEPH-（N+1） ，且 F 是可满足的 ，则一定有一个解释 I 其论域的基数为ALEPH-（N+1）使得I成为 F 的模 型 。对 L（1，1）中任意两个公式f 与g 若对任意的 解释都有相同的真假值 记为 f=g (在任一解释 I 下） ，则这个“=”是一个等价关系。对 L (1,1)中任两个公式 f与 g ,f=g(在任一解释I下）当且仅当 f=g (在论域的基数为ALEPH-（N+1）的任一解释 I1下），其证明用反证法 ，若不等 “≠” ，则有f∧(∽g) （或（(
∽f)∧g））是 可满足的 ，则存在有论域的基数为ALEPH-（N+1）的解释 I使得在I下它的值为 1 ，在I下 f与g 的真假值不同 ，与原来的假定相矛盾 ，所以有 f=g(在任一解释 I下），反过来必要条件是显然的 。永假（永真）公式只要在论域的基数为ALEPH-（N+1）上的解释而言就可以了 。

第2个系统L（1，2）：现在 对系统 L（1，2）而言 ，是把谓词变元的秩 限 制 到 只允许有限秩的，谓词变元的个数最多可数无穷多个，其它的 与 L（1，1）相 同 。紧致性定理与推理化简规则（推理算子是代数闭包算子）都成立 。对于L（1，2）也有L-S-T定理成立：若公式集 F 的基数≤ALEPH-0 且 F 是可满足的 ，则 F 有 解 释 I 使得解释I的论域的基数为ALEPH-0的 I成为F 的 一 个模型 .若作：从谓词变元出发 ，谓词变元的秩≦ALEPH-N，谓词变元的个数≦ALEPH-N ，经否定、合取、析取、量词、ALEPH-N个项的合取、析取运算之后所得的所有公式（
当然有由谓词变元所得的原子公式在内）作成的系统 L（1，▲）。对 L（1，▲）而言 ，没有 （≤ALEPH-N ，=ALEPH-（N+1））-紧 性 定 理 成 立 ，举例如下：∧{fi∨∽fi:iεK & K 的基数为ALEPH-N },∽(f0g0∧f1g1∧......∧figi∧ .......... ),gi 是从基数为ALEPH-N的最小序数ω（N）中的 i对应到 {fi ,∽(fi)} 中 的 一个作为 figi ,g 有 ALEPH-（N+1）多个函数 ，把这 些公式放在一起组成一个集，这个集S 有性
型去 ，把推出关系F│= g化为 MODEL(F)=∩{MODL(f):f∈ F} 被包含在MODL(g)中；再引进公式集S覆盖了公式h ,即要求它有MODEL（h）被包含在 ∪{MODEL（s）：sε S}中 ；对任一公式φεL（1，3）来说 都有 ALEPH-N 个在 L（1，1）中的公式覆盖了φ（要用超穷归纳法来证明）；有了这些之后就可以来证明定理（对于L（1，3）的推理的简化规则）：在 L（1，3）中 ，F是公式集 ，F 的 基数是ALEPH-（N+1），F是协调的（或叫可满足的），则有F∣= g 当且仅当
在 F 中存在有基数为 ALEPH-N 的子集 F1 使得 F1∣= g .（一个说明：若 F 是不协调的话 ，则这个规则可能不成立，有例子为证---可从上面的例子中去了第一个公式之后所得的集记为 W ，则这个W 就是所要的例子了）。其证明如下： 充分性是显然的。然后证必要性 ，从F∣= g 出发，知 MODEL（F）= ∩{MODEL(f ) : f ε F} 被包含在 MODEL（g）中 ，取其补集与反包含关系得到公式集{∽f:fεF}覆盖了∽g ,对任一解释 I ε MODEL（∽g）,在 ∪ {DODEL(∽f
) : f εF}中找到一个∽f使得 IεMODEL（∽f）,这个 （∽f）一定被 L（1，1）中的有基数为≦ALEPH-N的一个公式集S1所覆盖，则有L（1，1）中的s 使得IεMODEL（s）,把所有的这样的s (随着 I 而 找 到 的 s ),放在一起组成一个集S ，S 是L（1，1）中的一个子集 ，所以有 S的基数≤ALEPH-N ；对任一sεS ,作M=MODEL（s）∩MODEL（∽g）≠空集 ，从中取 IεM ,由这个I找（∽ g）覆盖中的 (∽f1),IεMODEL(∽f1) ,由这样得到的所有的f1所组成的集F1，F1的基数≦ALEPH-N 且F1是被包含在F中的一个子集，{∽f1:f1εF1}盖住了（∽g）,这样就找到了F1使得 F1∣=
g (证完)。第4、第5个系统 L（1，4）、L（1，5）：谓词变元的秩≤ALEPH-N 且有秩为等于ALEPH-N的谓词变元 ，有运算等于ALEPH-K个公式的合取、析取 ，谓词变元的个数有ALEPH-W个，求MAX {AEPH-N,ALEPH-K,ALEPH-W} = ALEPH-Z ,则可把它们看作是 L（1，3）的子系统，它们中的推理化简规则以及L-S-T型的定理等等就与L(1,3) 中的一样了。若对谓词变元的秩、谓词变元的个数、取无限的并、交时的项数不作任何限制的话，所得的通用系统记为 L（1，★），，
把 L（1，1）、L（1，2）、...L(1,5) 等等都可看作是L（1，★）的 子系统了 。一个说明：本文所说的除L（1，2）外都是新的，且对一些定理的证明方法有对前人方法的改进与补充（例如与前人不相同的关于解释的定义、MODEL（F），特别是引进了覆盖的方法—实质是取补集并逆转推理关系得到的方法等等），即使对 L（1，2）而言也有对定理的证明有不同与改进之处 ；对推理的简化规则与有否紧性（或类似紧性）是没有一定的等价性的，紧性（或类似的紧性）不过是推理简化规则成立的充分条件 ，而不是必要条件 ，因而使得对推理的认识有了更好的新的认识 .

References

[1].Hausdorff,F.,Set theory,New York,Chelsea,1957.

[2].Monk,J.D.,Mathematical Logic ,GTM Vol.37,Springer-Verlag,1976.

[3].H.-D. Ebbinhaus,Extended Logics,See Model Theoretic Logics ,Edited by J.Barwise and S.Feferman,Part A.,Chapter II,pp.25-76 .

论文的英文标题等，见下面 :一阶谓词逻辑的几个系统 （ Several systems of the first-order predicate logic ） Yang An-zhou （杨安洲） ,E-mail address: yanganzhou1938@sina.cn 摘要：在这篇文章中
，一阶谓词逻辑的几个系统被提出 （Abstract. In this paper ,Several systems of the first=order predicate logic are prefered ) 关键词：一阶谓词逻辑系统，逻辑系统，紧性与似紧性 ，L-S-T定理，语法推理和语义推理，公式的复盖 . (Keywords : first-order predicate logic ,logical system,compactness and pseudo-compactness,L-S-T
theorem,syntax inference and semantic inference ,covering of formular) .数学评论MR(2010)的主题词分类号：03Bxx ,03Gxx 。MR (2010) Subject Classification 03Bxx,03Gxx . 中图分类号：数理逻辑 ，0141 .文献标识码：A 文章编号 ： 作者简介 ：杨安洲（1938- ），1955-1960 北京大学数学系.1960- 1998 ,北京工业大学数学系 ，数学教授.
1998- ,退休在家 ，仍学习数学与逻辑学 .

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---2015年 7月8日 于北京 。