对称矩阵的特征向量两两正交的证明

对称阵有一个很优美的性质：它总能相似对角化，对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。

假设矩阵A A是一个对称矩阵， x i x_i和x j x_j 是矩阵A A 的任意两个特征向量，λ i \lambda_i和λ j \lambda_j 是与x i x_i和x j x_j 相对应的特征值，则有：

Ax i =λ i x i (1) Ax_i = \lambda_ix_i \qquad (1)

Ax j =λ j x j (2) Ax_j = \lambda_jx_j \qquad (2)

将式（1）的两边左乘以x T j x_j^T ，可得：

x T j Ax i =λ i x T j x i (3) x_j^TAx_i = \lambda_ix_j^Tx_i \qquad (3)

因为矩阵A A是一个对称矩阵，可以对式（3）的左边做如下变换：

x T j Ax i =x T j A T x i =(Ax j ) T x i (4) x_j^T A x_i = x_j^T A^T x_i = (A x_j)^T x_i \qquad (4)

将式（2）代入式（4），可得：

x T j Ax i =x T j A T x i =(Ax j ) T x i =(λ j x j ) T x i =λ j x T j x i (5) x_j^T A x_i = x_j^T A^T x_i = (A x_j)^T x_i = (\lambda_j x_j)^T x_i
= \lambda_j x_j^Tx_i\qquad (5)

结合式（3），可得：

λ i x T j x i =λ j x T j x i \lambda_i x_j^Tx_i = \lambda_j x_j^Tx_i ，即：(λ i −λ j )x T j x i =0(6) (\lambda_i -
\lambda_j) x_j^Tx_i = 0\qquad (6)

因为λ i ≠λ j \lambda_i \neq \lambda_j ，x T j x i x_j^Tx_i 必然等于0。

由于x i x_i和x j x_j是矩阵A A的任意两个特征向量，所以命题得证。