初探数据结构之“树”的定义和二叉树定义及性质

这周学习了数据结构中的树，看了郝斌的数据结构视频。。。虽然讲的很浅很浅但是对于我这么笨的人来说刚好能看懂。又通过小组学姐的讲解对树有了一个初步的认识，现在将学到的知识总结一下=、=

一、树的定义

树是由n(n>=0)个节点构成的有限集合，n = 0时称为空树。在任意一颗非空树中：

1)、有且只有一个根节点

2)、除根节点以外，其余节点分成m(m > 0)个互不相交的有限集合T1、T2、。。。Tm,其中每一个集合又都是一棵树

=、=好吧，我承认这是抄书的。下图就一棵树，怎么长得不像树。。。确实不像树，像葡萄(=、=)


(图片来自维基百科)

二、树中的术语

1)、结点：包含一个数据元素或指向其他元素的索引(就是上图中的一个小圆圈=、=)

2)、结点的度：一个结点的子树个数(上图中一个圆圈后边跟的几条线，注意是它后边挂的，不包括挂它的那根)

3)、树的度：树中结点的最大度

4)、终端结点(叶子结点)：度为零的结点(图中那些挂在最后孤单的那些圆圈=、=)

5)、分支结点：度不为零的结点，也成非终端结点

6)、孩子结点：一个结点对的直接后继(就是直接挂在它后边的圆圈)

7)、双亲结点：一个结点的直接前驱(挂它的那个圈、问:为什么叫双亲结点而不叫父结点或母结点？答:男女平等=、=)

8)、结点的层次：根为第一层，根的孩子结点为第二层，以此类推。。。

9)、树的高度(深度)：树中结点的最大层次

10)、兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称为兄弟结点(例如上图中的B和C。ps:我认为叫基友结点更好=、=)

11)、祖先结点：从根结点到该结点所经过的所有结点(例如上图中J的祖先结点是A、B、E)

12)、子孙结点：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙结点

13)、有序树：结点的子树从左至右有顺序，否则，称为无序树

14)、森林：好多棵不相交的树称为森林

三、二叉树

1)、定义：

(1)、二叉树定义：每个结点至多只能有两棵子树且有左右之分，顺序不可以颠倒的树。

(2)、满二叉树：从深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树，在满二叉树中煤层的结点都是满的(如下图)



(3)、完全二叉树：根据满二叉树的编号原则，深度为k，结点为n的二叉树，如果结点1~n的位置序号正好对应满二叉树的1～n则称此树为完全二叉树(如下图、其实就是把满二叉树的最后那行从右向左开始删，删几个都无所谓，但一定要从最后一行的右开始删不能越过一个删另一个。删完剩下的就是个完全二叉树)



2)、奇葩性质：

(1)、二叉树的第i层上至多有2^(i - 1)个结点(i >= 1)

(2)、高度(深度)为k的二叉树最大结点数为2^k - 1(k > 0)

(3)、任一二叉树如果叶子结点的个数为m，度数为2的结点个数为n则有：m = n + 1

(4)、具有n个结点的完全二叉树深度是[log2n] + 1。[x]为取整函数(不超过x的最大整数)

(5)、如果将一棵完全二叉树从上到下，从左到右对结点编号为1、2、3。。。，n，然后将此二叉树中各个结点顺序存入地存放于一个一维数组中，并简称编号为j的节点为j(1 <= j <= n)，则有如下结论成立：

{

1、若j = 1，则结点j为根节点，为双亲，否则j的双亲 为[j/2]

2、若2j <= n，则结点j的左孩子为2j，否则无左孩子，即编号为j且满足2j > n的结点为叶子节点

3、若2j + 1 <= n，则结点j的右孩子为2j + 1，否则无右孩子

4、若结点j序号为奇数且不等于1，则它的左兄弟为j - 1

5、若结点j的序号为偶数且不等于n，它的右兄弟为j + 1

}