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四元数

2015-08-01 23:33 232 查看

一.四元数定义

四元数的通用定义为：
$q = s+xi+yi+zk s,x,y,z\in \mathbb{R}$
根据 Haniton 公式
$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$

且有如下关系
$ij = k$
,
$jk = i$
,
$ki = j$
,
$ji = -k$
,

$kj=-i$
,
$ik = -j$
，形象的表示如下图所示:

四元数有序对表示法：
$q=[s,V] s\in \mathbb{R},V\in\mathbb{R}^{3}$
，注意此处的V为向量，其中i,j,k 性质已经没有上述四元数中 i,j,k 的性质

二. 四元数运算

1. 加法

假设
$q_{a}=[s_{a},a]$
,
$q_{b}=[s_{a},b]$
，则
$q_{a}\pm q_{b}=[s_{a}\pm s_{b} ,a\pm b]$
，
即两部分分别相加

2.乘法

假设
$q_{a}=[s_{a},a]$

$q_{b}=[s_{a},b]$
, 则
$q_{a}q_{b}=[s_{a},a][s_{b},b]$

$=(s_{a}+x_{a}i+y_{a}j+z_{a}k)(s_{b}+x_{b}i+y_{b}j+z_{b}k)$

$=[s_{a}s_{b}-a\cdot b,s_{a}b+s_{b}a+a\times b]$

三.四元数相关概念

单元四元数
$q=[s,V]$

$=[s,0]+[0,V]$

$=[s,0]+v[0,\hat{V}]$

$=s+v\hat{q}$

四元数对
$q=[s,V]$

$q^{*}=[s,-V]$

则
$qq^{*}=[s,V][s,-V]=[s^{2}-V\cdot -V,-sV+sV+V\times -V]=[s^{2}+v^{2},0]$

模运算
$|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
假设
$q=[s,V]$
,则

$|q|=\sqrt{s^{2}+v^{2}}$
,另外，有关系式成立
$zz^{*}=|z|^{2}$

逆运算 (Inverse)
$q^{-1}=q^{*}/|q|^{2}$
四元数和自身的逆乘积为1
$qq^{-1}=[1,0]=1$

三. 四元数旋转

优点：

可以避免万向节锁现象；
只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；
可以提供平滑插值；

缺点：

比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度；
理解更困难，不直观；

首先考虑一种简单的情况，如下图，p垂直于q, P绕q旋转45°

$q=cos\theta +isin\theta$

$q=[cos\theta ,Vsin\theta]$

$p=[0,P]$

$q=[s,\lambda \hat{V}]$

$p{}' = qp = [s,\lambda \hat{V}][0,P] = [-\lambda \hat{V}\cdot P,sP+\lambda \hat{V}\times P]$

令
$-\lambda \hat{V}\cdot P=0$
则
$P{}'=[0,cos\theta P+sin\theta \hat{V}\times P]$

令
$q=[cos\theta P,sin\theta K]$
j角度为 45°，
$p = [0,2i]$
,则

$p{}'=qp = [\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}K][0,2i] = [0,\sqrt{2}i+\sqrt{2}j]$
，此时模为
2，和原来是一样的

可是如果p 和 q 不垂直，如上图右所示，如果还是直接计算 p' = qp ,得到的计算结果模就不再是 2，所以需要再乘以 q 的逆

p' = qpq-1 ,
$q = [cos\frac{1}{2}\theta ,sin\frac{1}{2}\theta \hat{V}]$

四. 四元数插值

$P{}'=P_{1}+t(P_{2}-P_{1})$

计算角度的差距
$=q_{1}^{-1}q_{2}$

$V_{t}=\frac{sin(1-t)\theta }{sin\theta }V_{1}+\frac{sint\theta }{sin\theta }V_{2}$

$q_{t}=\frac{sin(1-t)\theta }{sin\theta }q_{1}+\frac{sint\theta }{sin\theta }q_{2}$

Reference：
http://www.3dgep.com/understanding-quaternions/ http://www.zhihu.com/question/23005815 http://blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903

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