背包问题详解
2015-07-31 21:57
281 查看
01背包
一个背包中容量为V,现在有N个物品,每个物品的第i个 物品体积为weight[i],价值为value[i],现在往背包里面装东西,怎么装能使背包的内物品价值最大?这是01背包的最基础最根本的问题。01代表的意思是该物品取或者不取。顺便提一下各种背包之间的区别,完全背包每种物品的数目是无限种,多重背包的每种物品数目是有限中。用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
把这个过程理解为当取第i件物品是,价值为f[i-1][v-c[i]]+w[i];
当不取第i件物品时,价值为f[i-1][v];
作图便是如下:内层循环为v从1到V,外层循环是n从1到N;
测试代码:
#include<iostream> using namespace std; #define V 1500 unsigned int f[10][V];//全局变量,自动初始化为0 unsigned int weight[10]; unsigned int value[10]; #define max(x,y) (x)>(y)?(x):(y) int main() { int N,M; cin>>N;//物品个数 cin>>M;//背包容量 for (int i=1;i<=N; i++) { cin>>weight[i]>>value[i]; } for (int i=1; i<=N; i++) for (int j=1; j<=M; j++) { if (weight[i]<=j) { f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]); } else f[i][j]=f[i-1][j]; } cout<<f [M]<<endl;//输出最优解 }
01背包内存优化:可将状态转移方程中二维数组转化为一维数组,状态方程为:
f[j]=max{f[j],f[j-v[i]]+val[i]}
此时需要保证f[j-v[i]]是上一层状态的,即假如左边的f[j]是前i件物品,那么需要保证f[j-v[i]]是前i-1件物品。那么内层循环必须是逆序,举个例子,加入是顺序遍历的话:
物品号 重量(c) 价值(w)
i=1 4 5
i=2 7 9
i=3 5 6
f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i] }
如果v是顺序递增 i=1时,v=4~10 (因为v要至少大于等于c[i]嘛 不然减出个负数没意义)
原先的: f[0]=0 f[1]=0 f[2]=0 f[3]=0 f[4]=0 f[5]=0 f[6]=0 f[7]=0 f[8]=0 f[9]=0 f[10]=0
--------------------------- i=1 -------------------------------- 后来的: f[0]=0 f[1]=0 f[2]=0 f[3]=0 f[4]=5 f[5]=5 f[6]=5 f[7]=5 f[8]=0 f[9]=0 f[10]=0
v=4:
f[4]=max{f[4],f[0]+5} max{0,5}=5 f[4]=5
v=5:
f[5]=max{f[5],f[1]+5} max{0,5}=5 f[5]=5
v=6:
f[6]=max{f[6],f[2]+5} max{0,5}=5 f[6]=5
v=7:
f[7]=max{f[7],f[3]+5} max{0,5}=5 f[7]=5
v=8:
f[8]=max{f[8],f[4]+5} max{0,10}=10 f[8]=10 (这里显然不对,这时i=1,只能放一件物品,然而没有一个物品的价值为10的 )
v=9:
f[9]=max{f[9],f[5]+5} max(0,10}=10 f[9]=10
v=10:
f[10]=max{f[10],f[6]+5} max{0,10}=10 f[10]=10
所以必须是逆序:
for(i=1;i<=n;i++) for(j=v;j>=v[i];j--) { f[j]=max{f[j],f[j-v[i]]+val[i]}; }
注:此处没有对j<v[i]做分类讨论是因为当j<v[i]时默认了f[j]等于上一层的f[j],即保持不变。
多重背包
已知一个容量为v的背包和N件物品,第i件物品最多有num[i]件,没见物品的重量是weight[i],收益是cost[i];物品个数N = 3,背包容量为V = 8,则背包可以装下的最大价值为64.
基本思路:直接扩展01背包
状态转移方程:
f[i][j]=max{f[i][j],f[i-1][j-k*weight[i]+k*cost[i]};其中0<=k&&k<=j/weight[i],这是与01背包不同之处,边界条件。
注:此处为f[i][v]而不是f[i-1][v],f[i][v]就相当于第i种物品中(m1,m2,m3,m4...)的上一层,上次没注意然后就wa了。
直接抄了网上的代码,如下:
#include <iostream> using namespace std; const int N = 3;//物品个数 const int V = 8;//背包容量 int Weight[N + 1] = {0,1,2,2}; int Value[N + 1] = {0,6,10,20}; int Num[N + 1] = {0,10,5,2}; int f[N + 1][V + 1] = {0}; /* f[i][v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - k * Weight[i]] + K * Value[i]);其中1 <= k <= min(Num[i],V/Weight[i]) //初始化 f[i][0] = 0; f[0][v] = 0; */ int MultiKnapsack() { int nCount = 0; //初始化 for (int i = 0;i <= N;i++) { f[i][0] = 0; } for (int v = 0;v <= V;v++) { f[0][v] = 0; } //递推 for (int i = 1;i <= N;i++) { for (int v = Weight[i];v <= V;v++) { f[i][v] = 0; nCount = min(Num[i],v/Weight[i]);//是当前背包容量v,而不是背包的总容量 for (int k = 0;k <= nCount;k++) { f[i][v] = max(f[i][v],f[i - 1][v - k * Weight[i]] + k * Value[i]); } } } return f [V]; } int main() { cout<<MultiKnapsack()<<endl; system("pause"); return 1; }
一维多重背包(选择01背包思想),将相同的物品看作不同的来处理,然后选择取或者不取,但复杂度比较高
for(i=1;i<=n;i++) { for(j=0;j<=b[i];j++) { for(m=k;m>=a[i]*j;m--) { if(f[m]<(f[m-j*w[i]]+j*val[i])) f[m]=f[m-j*w[i]]+j*val[i]; } } }
多重背包二进制优化模板:(思考在这里)
for(i=1;i<=n;i++) { p=0; g=0; while(b[i]>g) { for(j=k;j>=a[i]*g;j--) { f[j]=max(f[j],f[j-w[i]*g]+val[i]*g); } b[i]-=g; g=pow(2,p); p++; } for(j=k;j>=w[i]*b[i];--j) { f[j]=max(f[j],f[j-w[i]*b[i]]+val[i]*b[i]); } }
完全背包
完全背包只是每种物品的数量被放到了无限大,此时相对与多重背包变化的只是范围。有一个容量为V的背包和N件物品,第i件物品的重量是weight[i],收益是cost[i]。每种物品都有无限件,能放多少就放多少。在不超过背包容量的情况下,最多能获得多少价值或收益?
1.基本思路:直接扩展01背包
状态转移方程:
f[i][v] = max(f[i ][v],f[i][v - K * weight[i]] + K * Value[i]); 其中 0<= K * weight[i] <= j,(v指此时背包容量,不是总容量)
#include <iostream> #include <assert.h> using namespace std; /* f[i][v]:前i件物品放入背包容量为v的背包获得的最大收益 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - k * Wi] + k * Vi,其中 1<=k<= v/Wi) 边界条件 f[0][v] = 0; f[i][0] = 0; */ const int N = 3; const int V = 5; int weight[N + 1] = {0,3,2,2}; int Value[N + 1] = {0,5,10,20}; int f[N + 1][V + 1] = {0}; int Completeknapsack() { //边界条件 for (int i = 0;i <= N;i++) { f[i][0] = 0; } for (int v = 0;v <= V;v++) { f[0][v] = 0; } //递推 for (int i = 1;i <= N;i++) { for (int v = 1;v <= V;v++) { f[i][v] = 0; int nCount = v / weight[i]; for (int k = 0;k <= nCount;k++) { f[i][v] = max(f[i][v],f[i - 1][v - k * weight[i]] + k * Value[i]); } } } return f [V]; } int main() { cout<<Completeknapsack()<<endl; return 1; }
内存压缩:可以接着01背包内存压缩的为什么内层循环方向分析,一维01背包内层循环反向max中的f[j],f[j-w[i]]+val[i]是上一层的,而在完全背包中内层循环是从w[i]到v正向,刷新的是当前层的状态,看不懂可以再次分析上面的例子
for(i=1;i<=n;i++) { for(j=w[i];j<=v;j++) { f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+val[i]); } }
2.直接利用多重背包
完全背包的物品可以取无限件,根据背包的总容量V和第i件物品的总重量Weight[i],可知,背包中最多装入V/Weight[i](向下取整)件该物品。因此可以直接改变第i件物品的总个数,使之达到V/Weight[i](向下取整)件,之后直接利用01背包的思路进行操作即可。
举例:物品个数N = 3,背包容量为V = 5。
拆分之前的物品序列:
拆分之后的物品序列:
根据上述思想:在背包的最大容量(5)中,最多可以装入1件物品一,因此不用扩展物品一。最多可以装入2件物品二,因此可以扩展一件物品二。同理,可以扩展一件物品三。
背包问题九讲:http://love-oriented.com/pack/Index.html
背包之01背包、完全背包、多重背包详解 :http://www.wutianqi.com/?p=539
背包问题九讲笔记_01背包:/article/2021457.html
背包问题九讲笔记_完全背包:/article/2021333.html
背包问题九讲笔记_多重背包:/article/2021329.html
01背包、完全背包、多重背包:/article/1644220.html
相关文章推荐
- 后端撸前端系列之 - 图片水平垂直居中
- 敏捷开发实战(三)--每日晨会,是否只是摆设?
- 敏捷开发实战(三)--每日晨会,是否只是摆设?
- Mysql 存储过程中应用事务
- 铁道部新客票系统设计
- 自,数据库
- leetcode 56: Merge Intervals
- grep命令详解
- HDU 2829 斜率优化DP Lawrence
- if语句的运用
- hdu 5295 Unstable(计算几何)
- mac 下 swoole 环境搭建
- *HDU 2196 - Computer(树形DP)
- 学习hibernate遇到的问题1
- Objective-C类和对象
- Mysql Client
- poj 2184 - Cow Exhibition (01背包) 解题报告
- mysql ERROR 1049 (42000): Unknown database '******' ”错误处理办法
- xcode6 ios ios simulator Home键
- 微信JSSDK分享接口中wx.config 出现invalid signature问题的解决办法