HDOJ 1003 ( Max Sum )

其实解法应该还比较多

个人是用了DP

并没有开数组就解决了问题

动态规划的方法：

我们考虑最后一个元素arr[n-1]与最大子数组的关系，有如下三种情况：

arr[n-1]单独构成最大子数组

最大子数组以arr[n-1]结尾

最大子数组跟arr[n-1]没关系，最大子数组在arr[0-n-2]范围内，转为考虑元素arr[n-2]

从上面我们可以看出，问题分解成了三个子问题，最大子数组就是这三个子问题的最大值，现假设：

以arr[n-1]为结尾的最大子数组和为End[n-1]

在[0-n-1]范围内的最大子数组和为All[n-1]

如果最大子数组跟最后一个元素无关，即最大和为All[n-2]（存在范围为[0-n-2]），则解All[n-1]为三种情况的最大值，即All[n-1] = max{ arr[n-1]，End[n-1]，All[n-2] }。从后向前考虑，初始化的情况分别为arr[0]，以arr[0]结尾，即End[0] = arr[0]，最大和范围在[0,0]之内，即All[0]=arr[0]。根据上面分析，给出状态方程：

All[i] = max{ arr[i]，End[i-1]+arr[i]，All[i-1] }

仔细看上面DP方案的代码，End[i] = max{arr[i]，End[i-1]+arr[i]}，如果End[i-1]<0，那么End[i]=arr[i]，什么意思？End[i]表示以i元素为结尾的子数组和，如果某一位置使得它小于0了，那么就自当前的arr[i]从新开始，且End[i]最初是从arr[0]开始累加的，所以这可以启示我们：我们只需从头遍历数组元素，并累加求和，如果和小于0了就自当前元素从新开始，否则就一直累加，取其中的最大值便求得解。

这个是理论基础，我们有更加直观的做法：

/* 最大子数组 返回起始位置 */

void Maxsum_location(int * arr, int size, int & start, int & end)

{

int maxSum = -INF;

int sum = 0;

int curstart = start = 0;  /* curstart记录每次当前起始位置 */

for(int i = 0; i < size; ++i)

{

if(sum < 0)

{

sum = arr[i];

curstart = i;     /* 记录当前的起始位置 */

}else

{

sum += arr[i];

}

if(sum > maxSum)

{

maxSum = sum;

start = curstart; /* 记录并更新最大子数组起始位置 */

end = i;

}

}

}

为什么可以sum<0，就舍弃，重新开始扫描呢？以下证明

我们用i表示子序列的起始下标，j 表示子序列的终止下标。

原理是，当我们得到一个子序列，如果子序列的第一个数是非正数，那么可以舍去，即i++

当一个子序列的前n个元素和为非正数时，是否也可以舍去呢？答案是可以的。

假设k 是i到j中任意一个下标。Sum( a, b ) 表示子序列第a个元素到第b个元素之和。由于加到第j个元素，子序列才开始为负数，所以Sum( i, k ) > 0，Sum( i, k ) + Sum( k, j ) = Sum( i, j ) ,所以Sum( k, j ) < Sum( i, j ) < 0

所以如果把 k到j的序列附加到j之后的序列上，只会使序列越来越小。所以i到j的序列都可以舍去。

最后附上AC代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
for(int i = 0;i < T;i++)
{
int n, sum = 0;
scanf("%d", &n);
int Max = -99999999;
int curhead = 1, head = 1, rear = 1;
for(int j = 0;j < n; j++)
{
int t;
scanf("%d", &t);
if(sum < 0)
{
curhead = j + 1;
sum = t;
}
else
sum += t;
if(sum > Max)
{
rear = j + 1;
head = curhead;
Max = sum;
}
}
printf("Case %d:\n",i + 1);
printf("%d %d %d\n",Max, head, rear);
if(i != T - 1)
printf("\n");
}
return 0;
}