斐波那契数列——矩阵的幂求解

题目：

斐波那契数列的递推公式如下：

F(0) = 0;

F(1) = 1;

F(n + 2) = F(n + 1) + F(n);

求数列的第N项的值对10000取余的结果。( 0<=n<= 10^16)

求解斐波那契数列，如果N比较小的情况下，可以直接打表求解，但是对于N很大的情况下，并不适用。

所以，有些人会想到高精度计算，但是，N达到10^5以上时，时间复杂度难以想象，每计算一个数，需要进行高精度加法。然而还有求解对10000的取余的值。

我们可以用矩阵的幂来求解。斐波那契数列的递推公式为F(n + 2) = F(n + 1) + F(n);可以转换为矩阵的形式



将这公式乘开，还是等于上面的递推公式。因此，得到了F(n)的求解公式



下面的是代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
typedef __int64 ll;

const int M = 10000;

mat mul(mat &A, mat &B)    //矩阵相乘函数
{
mat C(A.size(), vec(B.size()));  //二维数组
for(int i = 0; i < A.size(); i++)
for(int k = 0; k < B.size(); k++)
for(int j = 0; j < B.size(); j++)
C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % M;
return C;
}

mat pows(mat A, ll n)        //快速幂运算
{
mat B(A.size(), vec(A.size()));  //二维数组
for(int i = 0; i < A.size(); i++)
B[i][i] = 1;
while(n > 0)
{
if(n & 1)
B = mul(B, A);
A = mul(A, A);
n >>= 1;
}
return B;
}

int main()
{
ll n;
while(scanf("%I64d", &n) != EOF) //输入n
{
mat A(2, vec(2));
A[0][0] = 1; A[0][1] = 1;
A[1][0] = 1; A[1][1] = 0;
A = pows(A, n);
printf("%d\n", A[1][0]);
}
return 0;
}