hd1232 修路最少（并查集问题）

并查集：

是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题；

如图所示：



根节点：一个集合最上一层的一个结点，每个集合只有一个根节点！

父节点：上一级是下一级的父节点；例： b 是 d 的父节点；父节点是本身的点为根节点！

子节点：下一级是上一级的子节点；例： d 是 b 的子节点；



就是讲原本分散的单个数据建立起联系；

例：亲戚关系，食物链等，

x和y是亲戚，y和z是亲戚，那么x和z也是亲戚。如果x,y是亲戚，那么x的亲戚都是y的亲戚，y的亲戚也都是x的亲戚。

有点类似传递关系。

有了并查集的基本概念了，我们再来说一下有关并查集的作用；

即我们要利用并查集解决怎样的问题：

合并两个集合，判断两个元素是否属于一个集合.

主要操作：



1、定义 :

用一个存放父节点的一位数组来代表；

例如：int per [ 1200 ];

2、初始化 :
把每个点所在集合初始化为其自身。
通常来说，这个步骤在每次使用该数据结构时只需要执行一次；

代码样板：

int per[1100];

void init()

{

for(int i =1; i <= N; ++i) per[i] = i; // 初始化；

}

3、查找 :


查找元素所在的集合，即根节点。

代码样板：

①.全部元素压缩路径：

int find(int x)

{

int r = x ;

while(r != per[r]) // 找到r为根节点；

r = per[r];

int i ,j;

i = x;

while(i != r) // 若不是根节点，连到根节点；

{

j = per[i];

per[i] = r;

i = j;

}

return r; // 返回根节点；

}



②.仅对一个元素压缩路径：

int find(int x)

{

int r = x;

while(r != per[r])

r = per[r];

per[x] = r;

return r;

}

③.递归算法寻找，并压缩全部路径；

( 算法时间长,数据大时容易爆栈，不推荐 )

int find(int x)

{

if(x == per[x])

return x;

return per[x] = find(per[x]);

}

4、合并 :


将两个结点所在的集合合并为一个集合。
通常来说，合并之前，应先判断两个结点是否属于同一集合，这可用上面的“查找”操作实现。

代码样板：

void join (int x, int y)

{

int fx = find(x);

int fy = find(y);

if(fx != fy)

per[fx] = fy;

}

原题内容：

畅通工程

Time Limit: 4000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 37415 Accepted Submission(s): 19817



Problem Description
某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？



Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是城镇数目N ( < 1000 )和道路数目M；随后的M行对应M条道路，每行给出一对正整数，分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号。为简单起见，城镇从1到N编号。

注意:两个城市之间可以有多条道路相通,也就是说

3 3

1 2

1 2

2 1

这种输入也是合法的

当N为0时，输入结束，该用例不被处理。



Output
对每个测试用例，在1行里输出最少还需要建设的道路数目。



Sample Input

4 2
1 3
4 3
3 3
1 2
1 3
2 3
5 2
1 2
3 5
999 0
0

Sample Output

1
0
2
998

HintHint 
Huge input, scanf is recommended.

题目分析：



最少需要建设的道路数目等于：根节点数 - 1；

AC代码：

[cpp] view
plaincopy

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<stdlib.h>

int per[1100];

int n,m;

void init()

{

for(int i=1; i<=n; i++) per[i]=i;

}



int find(int x)//递归算法，不推荐；

{

if(x==per[x])

return x;

return per[x]=find(per[x]);

}

void join(int x,int y)

{

int fx=find(x);

int fy=find(y);

if(fx!=fy) per[fx]=fy;

}

int main()

{

while(scanf("%d",&n)!=EOF)

{

if(n==0) break;

scanf("%d",&m);

int a,b,ans=0;

init();

while(m--)

{

scanf("%d%d",&a,&b);//合并结点；

join(a,b);

}

for(int i=1; i<=n; i++)

if(per[i]==i) ans++;//判断，若是根节点，ans+1；

printf("%d\n",ans-1);

}

return 0;

}

在利用并查集运算的时候：

明显地，某一节点与根节点之间的节点数越少，复杂度越低，运行时间越短；

所以我们通过对单个结点压缩路径来减少复杂度；

而对于两个集合之间的合并运算，我们引入了深度( ran )这一概念；

例：d → c → a

对于根节点 d 的深度为二；

对于两个集合，将深度低的集合合并到深度更高的集合；

带有深度优化的join( 结合 )函数：

void jion (int x, int y)

{

int fx = find(x);

int fy = find(y);

if(fx == fy)

return ;

if(ran[fx] < ran[fy])//判断深度；

per[fx] = fy;

else{

per[fy] = fx;

if(ran[fx] == ran[fy]) ran[fx]++;

}

}

加入了深度判断后的AC代码：

[cpp] view
plaincopy

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int per[1100];

int ran[1100];

int n, m;

void init(){

for(int i = 1; i <= n; ++i){

per[i] = i;

ran[i] = 0;

}

}



int find (int x){

if(x == per[x])

return x;

return per[x] = find(per[x]);

}



void jion (int x, int y){

int fx = find(x);

int fy = find(y);

if(fx == fy)

return ;

if(ran[fx] < ran[fy])

per[fx] = fy;

else{

per[fy] = fx;

if(ran[fx] == ran[fy]) ran[fx]++;

}

}



int main (){

while(scanf("%d", &n),n){

scanf("%d", &m);

init();

int a, b;

while(m--){

scanf("%d%d", &a, &b);

jion(a,b);

}

int ans = 0;

for(int i = 1; i <= n; ++i){

if(per[i] == i)

ans++;

}

printf("%d\n", ans - 1);

}

return 0;

}

这里仅列出了并查集的一些基本运用；