计数问题（二）

计数问题（二）
在上一讲中，我们一起研究“枚举法”、“乘法原理”、“加法原理”在计数问题中的应用。但是，在实际的问题中，这些方法并不是单独使用的。往往需要同时应用这几种方法，这就需要我们搞清题意，根据已知条件，分别使用正确的方法，得到准确的结果。
（一）阅读思考
例1. 求720这个数约数的个数。
分析与解：从1开始，用实验的方法一对一对地找720的约数，这种方法太麻烦。如果把720写成质因数乘积的形式是：。720的约数分解质因数后只能含有质因数2（不超过4个）、质因数3（不超过2个）、质因数5（不超过1个）。因此，720的约数可以看成是由选择约数2的个数，约数3的个数和约数5的个数三个步骤来完成的，然后再利用乘法原理求720的约数的个数。

约数2有5种取法：
约数3有3种取法：
约数5有2种取法：
共有（种）
答：720有30个不同约数。
例2. 平面上有16个点（如图），点与点之间横向与纵向的距离都是一个单位，问通过这些点能够连出多少个正方形？

分析与解：我们采用枚举法，把一切可能的情况都列举出来。图中一共有16个点，用4个点能连成的正方形有9个。即这9个正方形只含4个点，正方形内没有其他点。含有5个点的正方形有4个（正方形中间还有1点），如图1，含有8个点的正方形有2个，如图2，含有9个点的正方形有4个，含有16个点的正方形有1个，这样一共可以连出20个正方形。

例3. 某公园有两个园门，一个东门，一个西门。若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门。另外，从东门有一条道路通向游乐场，从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园。从水上世界有一条道路通向西门，另一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门。问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法？
分析与解：这个题已知条件的叙述比较复杂，我们可以根据题中的叙述画出示意图（图略），然后把条件加以整理再思考。
（1）从东门入园，从西门出园；
（2）从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭和游乐场；
（3）从龙凤亭经园中园可到达西门；
（4）从游乐场经水上世界可到达西门，或从游乐场经园中园可到达西门；
（5）从水上世界经小山亭可到达西门。
根据以上五条可知，行走的路线可以分为这样几类：

算出第一类方法后再相加，就是不同的走法
（种）
答：共有10种不同的走法。
例4. 有1克、2克、4克、8克的砝码各一个，在天平上能称出多少种不同重量的物体？
分析与解：称重时分四类情况考虑，第一类是只用1个砝码，第二类是用两个砝码，第三类是用三个砝码，第四类是用四个砝码。
只用1个砝码可以称出1克、2克、4克、8克重的物体（共4种）；
用2个砝码可以称出：克、克、克、克、克、克重的物体（共6种）；
用3个砝码可以称出：克、克、克、克重的物体（共4种）；
用4个砝码可以称出：克重的物体（共1种）
（种）
答：在天平上能称出15种不同重量的物体。