snnu1120: 划分数（DP计数问题）

1120: 划分数

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Description

有n个无区别的物品，将它们划分成不超过m组，求出划分方法数模M的余数。

限制条件

1 <= m <= n <= 1000

2 <= M <= 10000

Input

每组测试数据输入一行n, m, M。

Output

输出划分数模M的余数。

Sample Input

42 468 6335

Sample Output

2494

HINT

组合数学

Source

可以将问题转变成x1+x2+x3+x4+x5+x6+.....xk+.....xm=n； 0<=xk;
这类问题一般有这样的限制:每个数的最大值,最小值,每个数是否可以相同.
相当于求不定方程x的非负整数解,但是n等于4时1 1 2和1 2 1根据题意，物品是相同的，所以这两种是一样的，
所以不能用校赛那道球放盒子的那种方式，
（考虑第i个盒子，放k个，d[i][j]+=d[i-1][j-k];0<=k<=m),
从整体进行考虑，对于每一个减去1，由于最小数可能为0，所以有两种情况，一种是最小数为0，一种是最小数为1，
d[m]
=d[m][n-t]+d[m-1]
,最小数为1，减去一，最小数为0，直接去掉0。，初始化d[0][0]=1,
这种方式为什么可以去重呢？
当有多个最小值为0时，由于去0时没有考虑去掉的是哪一个,所以去0操作跟位置没有关系。
(最小数为0，可能有多个，假设是k个，去k次，跟位置无关，去k次就可去完)
假设这个数是0,0,2,不考虑位置的去0,所以可以去重.
将n个数划分为m个不同的正整数解，且最大值小于n
　　f1[t][x]=f[t][x-t]+f[t-1][x-t]-f[t-1][x-(n+1)]
将n个数划分为m个不同的正整数解        　　　　
　　f2[t][x]=f2[t][x-t]+f2[t-1][x-t]
下面这两种情况去掉了1 1 2和1 2 1类似的重复情况。　　
将n个数划分为m个非空集合                　　 　
　 　f3[t][x]=f[t][x-t]+f[t-1][x-1]
　　(最小数为1，去掉一个,如果最小数有多个，由于没有考虑去掉的是哪一个，所以1 1 2， 1 2 1是相同的情况)
将n个数划分为m个可为空的集合          　　　　
　　d[m]
=d[m][n-m]+d[m-1]

　　(最小数为0，可能有多个，假设是k个，去k次，跟位置无关，去k次就可去完)
　　 d[m]
=f3[1]
+f3[2]
+f3[3]
+.....f[k]
+....f[m]
;
扩展问题：
　　　　有n种物品，第i种物品有a[i]个，不同种类的物品可以互相取分，但相同种类的无法区分，
　　　　从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？
解法1
d[i+1][j]
代表将前i种物品中取出j个，并且每种物品最多去a[i]个，
　　　　d[i+1][j]+=d[i][j-k]  0<=k<=min(j,a[i]);
解法2
　　　　d[i+1][j]=d[i+1][j-1]-d[i][j-1-a[i]]+d[i][j]
　　　　要求得是从前i个物品中取出j个的方案数，由于此题中1 1 2和1 2 1这两种是不同的，
　　　　所以不用考虑重复，这样就不能给每个数都减去1，我们可以考虑给第i个数减去1，
　　　　a:  当第i个数>=1时，d[i+1][j-1]等于d[i+1][j],然而第i个数的最大值要小于等于a[i]，
　　　　　　再正着看回去，d[i+1][j-1]肯定满足条件，如果给它的第i个数等于a[i],加上1之后，
　　　　　　d[i+1][j]就不满足条件了,所以需要减去d[i][j-1-a[i]];
　　　　b:　当第i个数等于0时，d[i][j]=d[i+1][j].

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define maxn 1100
int n,m;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int MOD;
void init()
{
// memset(a,0,sizeof(a));
// memset(dp,0,sizeof(dp));
}
void solve()
{
for(int i=0;i<=n;i++)
dp[i][0]=1;

for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(j-1-a[i] >= 0)
{
dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1] + dp[i][j] -dp[i][j-1-a[i] ] + MOD) %MOD;
}
else
dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1] + dp[i][j] ) %MOD;
}
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
printf("%d ",dp[i][j]);
printf("\n");
}
}
int main()
{
// freopen("test.txt","r",stdin);
while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&MOD))
{
init();
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
solve();
}
return 0;
}

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