UVA11916 Emoogle Grid 网格涂色 大步小步算法(解模方程对数) 快速幂 模的逆 模的对数
2015-07-28 20:42
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题目大意:有一问题,在M行N列的网格上涂K种颜色,其中有B个格子不用涂色,其它每个格子涂一种颜色,同一列的上下两个相邻的格子不能涂相同的颜色。给出M,N,K和B个格子的位置,求出总方案数模掉1e8+7的结果R。现在已知R,求最小的M。
https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=473&page=show_problem&problem=3067
分析:
从上到下涂色,如果格子位于第一行或者它上面为”不可涂色格子“,则他有K种涂色方式,其他都为K-1种
将m=“不能涂色格子”的最大行编号,1-m为“不变部分”,m-M为“可变部分”
假定:(不变部分+可变部分第一行=cnt种涂色方法)
则每加一行,涂色方案就会乘以P=(K-1)^N
所以我们得到 cnt×P^(M-m)=R (mod 100000007)。x=M-m,移项 P^x=R×(cnt逆),求解出x,则x+m=M。
需要大步小步算法算法求解log_mod。
https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=473&page=show_problem&problem=3067
分析:
从上到下涂色,如果格子位于第一行或者它上面为”不可涂色格子“,则他有K种涂色方式,其他都为K-1种
将m=“不能涂色格子”的最大行编号,1-m为“不变部分”,m-M为“可变部分”
假定:(不变部分+可变部分第一行=cnt种涂色方法)
则每加一行,涂色方案就会乘以P=(K-1)^N
所以我们得到 cnt×P^(M-m)=R (mod 100000007)。x=M-m,移项 P^x=R×(cnt逆),求解出x,则x+m=M。
需要大步小步算法算法求解log_mod。
///hnust_taoshiqian #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<set> #include<map> typedef long long LL; using namespace std; LL mul_mod(LL A,LL B,LL MD){return A*B%MD;} ///快速幂。返回 a^p mod n;0<=a<n LL pow_mod(LL a,LL p,LL n){ if(p==0) return 1; LL ans = pow_mod(a,p/2,n); ans = ans*ans%n; if(p%2==1) ans=ans*a%n; return ans; } ///扩展欧几里得; d=gcd(a,b)。求整数x和y,使得ax+by=d,且|x|+|y|最小。 ///即使a,b在int范围内,x,y有可能会超出int void exgcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y) { if(!b){d=a;x=1;y=0;} else {exgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b);} } ///计算模n下a的逆,如果不存在逆,返回-1。a*x=1 (mod n) LL inv1(LL a,LL n){ LL d,x,y; exgcd(a,n,d,x,y); return d==1?(x+n)%n:-1; }///ax+ny=1 a,n互素则d==1则有解 LL inv(LL a,LL n) {///如果n是素数 return pow_mod(a,n-2,n); } ///求解模方程a^x=b(mod n)。n为素数,无解返回-1 LL log_mod(LL a,LL b,LL n) { LL m,v,e=1,i; m=(int)sqrt(n+0.5); v=inv(pow_mod(a,m,n),n);/// v=(a^-m) map<int,int>x; x[1]=0; for(i=1;i<m;i++){ e=mul_mod(e,a,n);/// e = a^i % n; if(!x.count(e)) x[e]=i; /// x[e]保存满足最小的i } for(i=0;i<m;i++){///考虑a^(im),a^(im+1),,,a^(im+m-1) if(x.count(b)) return i*m+x[b]; b=mul_mod(b,v,n);///b=v*b } return -1; } ///带有"不能涂色格子"的网格为不变部分 ///全都是"可涂色格子"的网格为可变部分 const int MOD = 100000007; const int maxb = 500+10;///b为不能涂色的格子数量 int n,m,k,b,r,x[maxb],y[maxb];///m行n列的网格 set<pair<int,int> >bset; ///存储不能涂色格子的坐标 ///计算可变部分的方案数 int Count() { int c=0;///有k种涂法的格子数,(2-m行) for(int i=0;i<b;i++){ if(x[i]!=m&&!bset.count(make_pair(x[i]+1,y[i]))) c++; ///"不能涂色格子"下面的"可涂色格子" } c+=n;/// c第一行有k种涂法的格子数 for(int i=0;i<b;i++) if(x[i]==1) c--; ///至此完成不变部分的所有“k种涂法的格子”的计数 ///ans=k^c*(k-1)^(mn-b-c) return mul_mod(pow_mod(k,c,MOD),pow_mod(k-1,(LL)n*m-b-c,MOD),MOD); } int doit() { int cnt = Count(); if(cnt==r) return m; ///可变部分为空 int c = 0; for(int i=0;i<b;i++) if(x[i]==m)c++;///可变部分第一行中“k种涂法的格子”数 m++;///m:可变部分第一行 cnt=mul_mod(cnt,pow_mod(k,c,MOD),MOD); cnt=mul_mod(cnt,pow_mod(k-1,n-c,MOD),MOD); if(cnt==r) return m;///不变部分+可变部分第一行 的总方案数量 return log_mod(pow_mod(k-1,n,MOD),mul_mod(r,inv(cnt,MOD),MOD),MOD)+m; ///大步小步求对数,求P^x=r*(cnt逆)。返回x+m } int main() { //freopen("f:\\1.txt","r",stdin); int T;scanf("%d",&T); for(int cas=1;cas<=T;cas++){ scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&b,&r); bset.clear(); m=1; ///不变部分的最后一行 for(int i=0;i<b;i++){ scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); if(x[i]>m) m=x[i]; bset.insert(make_pair(x[i],y[i])); } printf("Case %d: %d\n",cas,(int)doit()); } return 0;///hnust_taoshiqian }
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