UVA 10061 How many zeros and how many digits?

题目

多少个零和数字？

分析

真的难；

计算n!n!有多少位以及有多少尾零；

第一个问题是多少位，举一些栗子，16(10)=1×101+6×10016_{(10)}=1×10^1+6×10^0256(10)=2×102+5×101+6×100256_{(10)}=2×10^2+5×10^1+6×10^0

对于给定的数字aa和进制bb，只需要求k=floor(logba)=floor(logalogb)k=floor(log_ba)=floor(\frac{loga}{logb})即可获得位数kk，实际上所求的是bk<a<bk+1b^k；

再而是对于n!n!，如果先行求出n!n!，可能存在溢出和超时，那么可以这样log(n!)=log(n×(n−1)×(n−2)×…×1)=log(n)+log(n−1)+log(n−2)+…+log(1)log(n!)=log(n×(n-1)×(n-2)×…×1)=log(n)+log(n-1)+log(n-2)+…+log(1)

第二个问题是尾零，观察3000(10)!3000_{(10)}!，

求尾零实际是在求有多少个10相乘，1000=10×10×101000=10×10×10有3个10就有三个0，再而分析，有1个10就有一个5（

最大质因数

），求出这些数分解后有多少个5相乘，就有多少个尾零，为什么考虑5呢？因为阶乘可能溢出或者超时，如果拆开对每个数考察，只考察10结果是不可靠的，所以应该考察组成10的因子；

3000(10)!3000_{(10)}!可以表示为

1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×600)1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×600)

有600个5相乘，就是有600个0。

但是在上式中，括号内的[1,600][1, 600]这些数字中又有5的倍数，那么[1,600][1, 600]中有多少个5的倍数，意味着漏了多少个0。

1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×120)1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×120)

有120个5相乘，就是有120个0 。

但是在上式中，括号内的[1,120][1, 120]这些数字中又有5的倍数，那么[1,120][1, 120]中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。

1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×24)1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×24)

有24个5相乘，就是有24个0 。

但是在上式中，括号内的[1,24][1, 24]这些数字中又有5的倍数，那么[1,24][1, 24]中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。

1×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×4)×…×241×2×3×4×(5×1)×…×9×(5×2)×…×14×(5×3)×…×1×(5×4)×…×24

有4个5相乘，就是有4个0 。

此时不再有5，结束。共有600+120+24+4=748600+120+24+4=748个尾零。

代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int cal_digit(int n, int b)
{
int i;
double l;
for (i = 2, l = 0; i <= n; i++)
l += log10(i) / log10(b);
return l + 1;
}

int cal_zero(int n, int b)
{
int i, d, m, t;
for (i = 2, d = 1; i <= b; i++) {
m = 0;
while (b % i == 0) {
m++;
d = i;
b /= i;
}
}
for (t = 0; n > 0; ) {
t += n / d;
n /= d;
}
return t / m;
}

int main(void)
{
int n, b;
while (scanf("%d%d", &n, &b) != EOF)
printf("%d %d\n", cal_zero(n, b), cal_digit(n, b));
return 0;
}