平衡二叉树调整

平衡二叉树的插入旋转

平衡二叉树定义(AVL)：它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

最小不平衡子树：指离插入节点最近且以平衡因子的绝对值大于1的节点作为根的子树。

平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1;

　　很显然，平衡二叉树是在二叉排序树(BST)上引入的，就是为了解决二叉排序树的不平衡性导致时间复杂度大大下降，那么AVL就保持住了(BST)的最好时间复杂度O(logn)，所以每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡，那么怎么保持平衡呢？

插入操作

在平衡二叉树中插入结点与二叉查找树最大的不同在于要随时保证插入后整棵二叉树是平衡的。那么调整不平衡树的基本方法就是： 旋转，基本思路都是转换到左旋和右旋。

1） 右旋: 在最小平衡子树根节点平衡因子>=2且在根节点的左孩子的左孩子插入元素，进行右旋



2） 左旋: 在最小平衡子树根节点平衡因子>=-2且在根节点的右孩子的右孩子插入元素，进行左旋。



3） 右左：最小平衡子树根节点(80)的右孩子(100)的左孩子(90)的子节点(95)插入新元素，先绕根节点的右孩子节点(100)右旋，再围根节点(80)左旋



4） 左右：在最小平衡子树根节点(80)的左孩子(50)的右孩子(70)的子节点插入新元素，先绕根节点的左孩子节点(50)右旋，再围根节点(80)左旋



第二篇，地址：http://www.cppblog.com/bellgrade/archive/2009/10/12/98402.html

平衡二叉树

形态匀称的二叉树称为平衡二叉树 (Balanced binary tree) ，其严格定义是：

　　一棵空树是平衡二叉树；若 T 是一棵非空二叉树，其左、右子树为 TL 和 TR ，令 hl 和 hr 分别为左、右子树的深度。当且仅当

　　　①TL 、 TR 都是平衡二叉树；

　　　② ｜ hl － hr ｜≤ 1；

时，则 T 是平衡二叉树。

【例】如图 8.4 所示。



（a）平衡二叉树 （b）非平衡二叉树

图8.3 平衡二叉树与非平衡二叉树

相应地定义 hl － hr 为二叉平衡树的平衡因子 (balance factor) 。因此，平衡二叉树上所有结点的平衡因子可能是 -1 ， 0 ， 1 。换言之，若一棵二叉树上任一结点的平衡因子的绝对值都不大于 1 ，则该树是就平衡二叉树。

动态平衡技术

1.动态平衡技术

Adelson-Velskii 和 Landis 提出了一个动态地保持二叉排序树平衡的方法，其基本思想是：

　　在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，如果是因插入结点而破坏了树的平衡性，则找出其中最小不平衡子树，在保持排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的连接关系，以达到新的平衡。通常将这样得到的平衡二叉排序树简称为 AVL 树。

2.最小不平衡子树

　　以离插入结点最近、且平衡因子绝对值大于 1 的结点作根结点的子树。为了简化讨论，不妨假设二叉排序树的最小不平衡子树的根结点为 A ，则调整该子树的规律可归纳为下列四种情况：

（1） LL 型：

　　新结点 X 插在 A 的左孩子的左子树里。调整方法见图 8.5(a) 。图中以 B 为轴心，将 A 结点从 B 的右上方转到 B 的右下侧，使 A 成为 B 的右孩子。



图8.5 平衡调整的4种基本类型（结点旁的数字是平衡因子）

（2）RR 型：

　　新结点 X 插在 A 的右孩子的右子树里。调整方法见图 8.5(b) 。图中以 B 为轴心，将 A 结点从 B 的左上方转到 B 的左下侧，使 A 成为 B 的左孩子。

（3）LR 型：

　　新结点 X 插在 A 的左孩子的右子树里。调整方法见图 8.5(c) 。分为两步进行：第一步以 X 为轴心，将 B 从 X 的左上方转到 X 的左下侧，使 B 成为 X 的左孩子， X 成为 A 的左孩子。第二步跟 LL 型一样处理 ( 应以 X 为轴心 ) 。

（4）RL 型：

　　新结点 X 插在 A 的右孩子的左子树里。调整方法见图 8.5(d) 。分为两步进行：第一步以 X 为轴心，将 B 从 X 的右上方转到 X 的右下侧，使 B 成为 X 的右孩子， X 成为 A 的右孩子。第二步跟 RR 型一样处理 ( 应以 X 为轴心 ) 。

【例】

实际的插入情况，可能比图 8.5 要复杂。因为 A 、 B 结点可能还会有子树。现举一例说明，设一组记录的关键字按以下次序进行插入： 4 、 5 、 7 ， 2 、 1 、 3 、 6 ，其生成及调整成二叉平衡树的过程示于图 8.6 。

　　在图 8.6 中，当插入关键字为 3 的结点后，由于离结点 3 最近的平衡因子为 2 的祖先是根结点 5 。所以，第一次旋转应以结点 4 为轴心，把结点 2 从结点 4 的左上方转到左下侧，从而结点 5 的左孩子是结点 4 ，结点 4 的左孩子是结点 2 ，原结点 4 的左孩子变成了结点 2 的右孩子。第二步再以结点 4 为轴心，按 LL 类型进行转换。这种插入与调整平衡的方法可以编成算法和程序，这里就不再讨论了。



图 8.6 二叉平衡树插入结点 ( 结点旁的数字为其平衡因子 )