編程之美2.9：神奇的菲波那契數列

只要是聽說過遞歸，學過一點數據結構的人都聽過這個數列。其實高二數學課上也有，不過那時候我還在受馬克思主義的薰陶，不知編程爲何物。好了，據說這個數列源於一對繁殖能力特別驚人的兔子。

其實這個就是一個遞推公式：F(n)=⎧⎩⎨01F(n−1)+F(n−2)n = 0;n = 1;n>=2

一般學校都是在將遞歸時用這個當例子，這當然好。面試提也會考到這道題，Facebook有次就靠到了。不過你要是幹用遞歸寫，你也不用進行下一輪面試了。原因只有一個，太慢！！！重複計算太多！！

你看，如果要求F(5)，則計算F(4)和F(3)，計算F(4)呢，又要再次計算一下F(3)，當然慢。而且函數調用還要保存棧指針，傳遞參數等。

比較好一點的人可能想到用個一維數組。這樣就可以把複雜度降低到O(n)了，我也在這裏獻醜了。寫一個我的實現。

滚动数组法

#include <stdio.h>
int arr[3]={0,1};
int main(void){
int index=0;
printf("Enter the index:\n");
scanf("%d",&index);
if(index<=2){
printf("%d\n",arr[index-1]);
return 0;
}else{
for(int i=3;i<=index;++i){
arr[2]=arr[1]+arr[0];
arr[0]=arr[1];
arr[1]=arr[2];
}
}
printf("%d\n",arr[2]);
return 0;
}

好了，这就是传说中的複雜度爲O(N)的方法，比之前的递归是要好一点了。面试的时候写这个也差不多达到平均水平了。下面还有一种方法，虽然理论上可以。就是求数列的通项公式，不过这个引入了无理数。所以实际上不行。

下面是最暴的，也是比较有水平的方法。复杂度可以达到O(Log2N).策略呢，当然是我抄过来的。用矩阵。

因为Fibonacci是二阶递推数列，所以由矩阵相称的公式可得。存在一个2＊2的矩阵A。使得(FnFn−1)=(Fn−1Fn−2)∗A

求解可得：A=(1110)

由上面可以推出：(FnFn−1)=(Fn−1Fn−2)∗A=(Fn−2Fn−3)∗A2=....=(F1F0)An−1

看到了没，现在只需要能求出An−1，然后做一个矩阵乘法就行啦。

所以我们要做的工作就是实现一个矩阵操作的类或者函数。OK，我在装下B，写一个简单实现。

#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;
const int N=4;
class Martix{
public:
unsigned int size;
long long int data[N*N];
};
//Multi bewteen martix and martix
Martix  martixMulti(const Martix A,const Martix B,Martix result){
assert(A.size==B.size);
result.size=A.size;
for(int i=0;i<result.size;++i)
for(int j=0;j<result.size;++j){
result.data[i*result.size+j]=0;
for(int k=0;k<result.size;++k)
result.data[i*result.size+j]+=A.data[i*A.size+k]*B.data[k*B.size+j];
}
return result;
}
//Compute the n-1 of exp
Martix martixPow(Martix &A,int index){
if(index==0)
exit(0);
--index; //compute n-1 exp
Martix IdenMartix;
IdenMartix.size=2;
IdenMartix.data[0]=1,IdenMartix.data[1]=0;
IdenMartix.data[2]=0,IdenMartix.data[3]=1;
Martix result=IdenMartix;
for(;index;index>>=1){
if(index&1)
result=martixMulti(result,A,result);
A=martixMulti(A,A,A);
}
return result;
}
int Fib(int n){
Martix A;
A.size=2;
A.data[0]=1,A.data[1]=1;
A.data[2]=1,A.data[3]=0;
Martix an=martixPow(A,n);
return an.data[0];
}
int main(int agrc,char **argv){
unsigned int index;
cout<<"Input index:";cin>>index;
cout<<Fib(index)<<endl;
return 0;
}

上述就是一个简单的实现，不过代码有点小问题。哈，你们自己看着办吧。下篇文章估计写大数计算。正好也实在一下，当菲薄那契数列的项数过大时，无法表示的情况。

参考资料：

<编程之美>书籍

编程之美2.9