MATLAB 概率统计

matlab概率统计函数(一）

第4章
概率统计

本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。

4.1 随机数的产生

4.1.1 二项分布的随机数据的产生

命令 参数为N，P的二项随机数据

函数 binornd

格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。

R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数

例4-1

>> R=binornd(10,0.5)

R =

3

>> R=binornd(10,0.5,1,6)

R =

8 1 3
7 6 4

>> R=binornd(10,0.5,[1,10])

R =

6 8 4
6 7 5
3 5 6
2

>> R=binornd(10,0.5,[2,3])

R =

7 5 8

6 5 6

>>n = 10:10:60;

>>r1 = binornd(n,1./n)

r1 =

2 1 0
1 1 2

>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])

r2 =

0 1 2
1 3 1

4.1.2 正态分布的随机数据的产生

命令 参数为μ、σ的正态分布的随机数据

函数 normrnd

格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。

R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表示R的行数和列数

例4-2

>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))

n1 =

2.1650 2.3134 3.0250
4.0879 4.8607 6.2827

>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])

n2 =

0.0591 1.7971 0.2641
0.8717 -1.4462

>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵

n3 =

0.9299 1.9361 2.9640

4.1246 5.0577 5.9864

>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数

R =

9.7837 10.0627 9.4268

9.1672 10.1438 10.5955

4.1.3 常见分布的随机数产生

常见分布的随机数的使用格式与上面相同

表4-1
随机数产生函数表

函数名	调用形式	注 释
Unifrnd	unifrnd ( A,B,m,n)	[A,B]上均匀分布(连续) 随机数
Unidrnd	unidrnd(N,m,n)	均匀分布（离散）随机数
Exprnd	exprnd(Lambda,m,n)	参数为Lambda的指数分布随机数
Normrnd	normrnd(MU,SIGMA,m,n)	参数为MU，SIGMA的正态分布随机数
chi2rnd	chi2rnd(N,m,n)	自由度为N的卡方分布随机数
Trnd	trnd(N,m,n)	自由度为N的t分布随机数
Frnd	frnd(N1, N2,m,n)	第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数
gamrnd	gamrnd(A, B,m,n)	参数为A, B的分布随机数
betarnd	betarnd(A, B,m,n)	参数为A, B的分布随机数
lognrnd	lognrnd(MU, SIGMA,m,n)	参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数
nbinrnd	nbinrnd(R, P,m,n)	参数为R，P的负二项式分布随机数
ncfrnd	ncfrnd(N1, N2, delta,m,n)	参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数
nctrnd	nctrnd(N, delta,m,n)	参数为N，delta的非中心t分布随机数
ncx2rnd	ncx2rnd(N, delta,m,n)	参数为N，delta的非中心卡方分布随机数
raylrnd	raylrnd(B,m,n)	参数为B的瑞利分布随机数
weibrnd	weibrnd(A, B,m,n)	参数为A, B的韦伯分布随机数
binornd	binornd(N,P,m,n)	参数为N, p的二项分布随机数
geornd	geornd(P,m,n)	参数为 p的几何分布随机数
hygernd	hygernd(M,K,N,m,n)	参数为 M，K，N的超几何分布随机数
Poissrnd	poissrnd(Lambda,m,n)	参数为Lambda的泊松分布随机数

4.1.4 通用函数求各分布的随机数据

命令 求指定分布的随机数

函数 random

格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列

例4-3
产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数

>> y=random('norm',2,0.3,3,4)

y =

2.3567 2.0524 1.8235
2.0342

1.9887 1.9440 2.6550
2.3200

2.0982 2.2177 1.9591
2.0178

4.2 随机变量的概率密度计算

4.2.1 通用函数计算概率密度函数值

命令 通用函数计算概率密度函数值

函数 pdf

格式 Y=pdf(name，K，A)

Y=pdf(name，K，A，B)

Y=pdf(name，K，A，B，C)

说明 返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。

表4-2
常见分布函数表

name的取值	函数说明
'beta'	或	'Beta'	Beta分布
'bino'	或	'Binomial'	二项分布
'chi2'	或	'Chisquare'	卡方分布
'exp'	或	'Exponential'	指数分布
'f'	或	'F'	F分布
'gam'	或	'Gamma'	GAMMA分布
'geo'	或	'Geometric'	几何分布
'hyge'	或	'Hypergeometric'	超几何分布
'logn'	或	'Lognormal'	对数正态分布
'nbin'	或	'Negative Binomial'	负二项式分布
'ncf'	或	'Noncentral F'	非中心F分布
'nct'	或	'Noncentral t'	非中心t分布
'ncx2'	或	'Noncentral Chi-square'	非中心卡方分布
'norm'	或	'Normal'	正态分布
'poiss'	或	'Poisson'	泊松分布
'rayl'	或	'Rayleigh'	瑞利分布
't'	或	'T'	T分布
'unif'	或	'Uniform'	均匀分布
'unid'	或	'Discrete Uniform'	离散均匀分布
'weib'	或	'Weibull'	Weibull分布

例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)

例4-4
计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。

解：>> pdf('norm',0.6578,0,1)

ans =

0.3213

例4-5
自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。

解：>> pdf('chi2',2.18,8)

ans =

0.0363

4.2.2 专用函数计算概率密度函数值

命令 二项分布的概率值

函数 binopdf

格式 binopdf (k, n, p) %等同于，
p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数

命令 泊松分布的概率值

函数 poisspdf

格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于

命令 正态分布的概率值

函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值

专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。

表4-3
专用函数计算概率密度函数表

函数名	调用形式	注 释
Unifpdf	unifpdf (x, a, b)	[a,b]上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值
unidpdf	Unidpdf(x,n)	均匀分布（离散）概率密度函数值
Exppdf	exppdf(x, Lambda)	参数为Lambda的指数分布概率密度函数值
normpdf	normpdf(x, mu, sigma)	参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值
chi2pdf	chi2pdf(x, n)	自由度为n的卡方分布概率密度函数值
Tpdf	tpdf(x, n)	自由度为n的t分布概率密度函数值
Fpdf	fpdf(x, n1, n2)	第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值
gampdf	gampdf(x, a, b)	参数为a, b的分布概率密度函数值
betapdf	betapdf(x, a, b)	参数为a, b的分布概率密度函数值
lognpdf	lognpdf(x, mu, sigma)	参数为mu, sigma的对数正态分布概率密度函数值
nbinpdf	nbinpdf(x, R, P)	参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值
Ncfpdf	ncfpdf(x, n1, n2, delta)	参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值
Nctpdf	nctpdf(x, n, delta)	参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值
ncx2pdf	ncx2pdf(x, n, delta)	参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值
raylpdf	raylpdf(x, b)	参数为b的瑞利分布概率密度函数值
weibpdf	weibpdf(x, a, b)	参数为a, b的韦伯分布概率密度函数值
binopdf	binopdf(x,n,p)	参数为n, p的二项分布的概率密度函数值
geopdf	geopdf(x,p)	参数为 p的几何分布的概率密度函数值
hygepdf	hygepdf(x,M,K,N)	参数为 M，K，N的超几何分布的概率密度函数值
poisspdf	poisspdf(x,Lambda)	参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值

例4-6
绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形

>> x=0:0.1:30;

>> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':')

>> hold on

>> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')

>> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')

>> axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域

则图形为图4-1。

4.2.3 常见分布的密度函数作图

1．二项分布

例4-7

>>x = 0:10;

>>y = binopdf(x,10,0.5);

>>plot(x,y,'+')

2．卡方分布

例4-8

>> x = 0:0.2:15;

>>y = chi2pdf(x,4);

>>plot(x,y)





图4-2

3．非中心卡方分布

例4-9

>>x = (0:0.1:10)';

>>p1 = ncx2pdf(x,4,2);

>>p = chi2pdf(x,4);

>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')

4．指数分布

例4-10

>>x = 0:0.1:10;

>>y = exppdf(x,2);

>>plot(x,y)





图4-3

5．F分布

例4-11

>>x = 0:0.01:10;

>>y = fpdf(x,5,3);

>>plot(x,y)

6．非中心F分布

例4-12

>>x = (0.01:0.1:10.01)';

>>p1 = ncfpdf(x,5,20,10);

>>p = fpdf(x,5,20);

>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')





图4-4

7．Γ分布

例4-13

>>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);

>>y = gampdf(x,100,10);

>>y1 = normpdf(x,1000,100);

>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')

8．对数正态分布

例4-14

>>x = (10:1000:125010)';

>>y = lognpdf(x,log(20000),1.0);

>>plot(x,y)

>>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000])

>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…

'$90,000','$120,000'))





图4-5

9．负二项分布

例4-15

>>x = (0:10);

>>y = nbinpdf(x,3,0.5);

>>plot(x,y,'+')

10．正态分布

例4-16

>> x=-3:0.2:3;

>> y=normpdf(x,0,1);

>> plot(x,y)





图4-6

11．泊松分布

例4-17

>>x = 0:15;

>>y = poisspdf(x,5);

>>plot(x,y,'+')

12．瑞利分布

例4-18

>>x = [0:0.01:2];

>>p = raylpdf(x,0.5);

>>plot(x,p)





图4-7

13．T分布

例4-19

>>x = -5:0.1:5;

>>y = tpdf(x,5);

>>z = normpdf(x,0,1);

>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')

14．威布尔分布

例4-20

>> t=0:0.1:3;

>> y=weibpdf(t,2,2);

>> plot(y)





图4-8

4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值)

4.3.1 通用函数计算累积概率值

命令 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）

函数 cdf

格式

cdf('name',K,A)

cdf('name',K,A,B)

cdf('name',K,A,B,C)

说明 返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1
常见分布函数表

例4-21
求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。

解：

>> cdf('norm',0.4,0,1)

ans =

0.6554

例4-22
求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率

>> cdf('chi2',6.91,16)

ans =

0.0250

4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）

命令 二项分布的累积概率值

函数 binocdf

格式 binocdf (k, n, p) %n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。

命令 正态分布的累积概率值

函数 normcdf

格式 normcdf() %返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数

例4-23
设X~N（3,
22）

（1）求

（2）确定c，使得

解（1）
p1=

p2=

p3=

p4=

则有：

>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)

p1 =

0.5328

>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)

p2 =

0.9995

>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)

p3 =

0.6853

>>p4=1-normcdf(3,3,2)

p4 =

0.5000

专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。

表4-4
专用函数的累积概率值函数表

函数名	调用形式	注 释
unifcdf	unifcdf (x, a, b)	[a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
unidcdf	unidcdf(x,n)	均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
expcdf	expcdf(x, Lambda)	参数为Lambda的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
normcdf	normcdf(x, mu, sigma)	参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
chi2cdf	chi2cdf(x, n)	自由度为n的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
tcdf	tcdf(x, n)	自由度为n的t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
fcdf	fcdf(x, n1, n2)	第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值
gamcdf	gamcdf(x, a, b)	参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
betacdf	betacdf(x, a, b)	参数为a, b的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
logncdf	logncdf(x, mu, sigma)	参数为mu, sigma的对数正态分布累积分布函数值
nbincdf	nbincdf(x, R, P)	参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
ncfcdf	ncfcdf(x, n1, n2, delta)	参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值
nctcdf	nctcdf(x, n, delta)	参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
ncx2cdf	ncx2cdf(x, n, delta)	参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值
raylcdf	raylcdf(x, b)	参数为b的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
weibcdf	weibcdf(x, a, b)	参数为a, b的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
binocdf	binocdf(x,n,p)	参数为n, p的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
geocdf	geocdf(x,p)	参数为 p的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}
hygecdf	hygecdf(x,M,K,N)	参数为 M，K，N的超几何分布的累积分布函数值
poisscdf	poisscdf(x,Lambda)	参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x}

说明 累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。

4.4 随机变量的逆累积分布函数

MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。

逆累积分布函数值的计算有两种方法

4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值

命令 icdf 计算逆累积分布函数

格式 icdf('name',P,a1,a2,a3)

说明 返回分布为name，参数为，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。

如果，则

例4-24
在标准正态分布表中，若已知=0.975，求x

解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1)

x =

1.9600

例4-25
在分布表中，若自由度为10，=0.975，求临界值Lambda。

解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数icdf求满足的临界值。所以，这里的取为0.025，即

>> Lambda=icdf('chi2',0.025,10)

Lambda =

3.2470

例4-26
在假设检验中，求临界值问题：

已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值

>>lambda=icdf('t',0.025,10)

lambda =

-2.2281

4.4.2 专用函数-inv计算逆累积分布函数

命令 正态分布逆累积分布函数

函数 norminv

格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=P{X≤x}。

例4-27
设，确定c使得。

解：由得，=0.5，所以

>>X=norminv(0.5, 3, 2)

X=

3

关于常用临界值函数可查下表4-5。

表4-5
常用临界值函数表

函数名	调用形式	注 释
unifinv	x=unifinv (p, a, b)	均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x）
unidinv	x=unidinv (p,n)	均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值
expinv	x=expinv (p, Lambda)	指数分布逆累积分布函数
norminv	x=Norminv(x,mu,sigma)	正态分布逆累积分布函数
chi2inv	x=chi2inv (x, n)	卡方分布逆累积分布函数
tinv	x=tinv (x, n)	t分布累积分布函数
finv	x=finv (x, n1, n2)	F分布逆累积分布函数
gaminv	x=gaminv (x, a, b)	分布逆累积分布函数
betainv	x=betainv (x, a, b)	分布逆累积分布函数
logninv	x=logninv (x, mu, sigma)	对数正态分布逆累积分布函数
nbininv	x=nbininv (x, R, P)	负二项式分布逆累积分布函数
ncfinv	x=ncfinv (x, n1, n2, delta)	非中心F分布逆累积分布函数
nctinv	x=nctinv (x, n, delta)	非中心t分布逆累积分布函数
ncx2inv	x=ncx2inv (x, n, delta)	非中心卡方分布逆累积分布函数
raylinv	x=raylinv (x, b)	瑞利分布逆累积分布函数
weibinv	x=weibinv (x, a, b)	韦伯分布逆累积分布函数
binoinv	x=binoinv (x,n,p)	二项分布的逆累积分布函数
geoinv	x=geoinv (x,p)	几何分布的逆累积分布函数
hygeinv	x=hygeinv (x,M,K,N)	超几何分布的逆累积分布函数
poissinv	x=poissinv (x,Lambda)	泊松分布的逆累积分布函数

例4-28
公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。

解：设h为车门高度，X为身高

求满足条件的h，即，所以

>>h=norminv(0.99, 175, 6)

h =

188.9581

例4-29
卡方分布的逆累积分布函数的应用

在MATLAB的编辑器下建立M文件如下：

n=5; a=0.9; %n为自由度，a为置信水平或累积概率

x_a=chi2inv(a,n)；
%x_a
为临界值

x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)；
%计算的概率密度函数值，供绘图用

plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形

xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)；
%计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用

fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a,
0)使得填色区域封闭

text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点

text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)'])

%图中标注

text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注

结果显示如图4-9。