HDU 4602 Partition（快速幂）

C - Partition
Time Limit:1000MS Memory Limit:32768KB 64bit IO Format:%I64d
& %I64d

Description

Define f(n) as the number of ways to perform n in format of the sum of some positive integers. For instance, when n=4, we have

4=1+1+1+1

4=1+1+2

4=1+2+1

4=2+1+1

4=1+3

4=2+2

4=3+1

4=4

totally 8 ways. Actually, we will have f(n)=2 (n-1) after observations.

Given a pair of integers n and k, your task is to figure out how many times that the integer k occurs in such 2 (n-1) ways. In the example above, number 1 occurs for 12 times, while number 4 only occurs once.

Input

The first line contains a single integer T(1≤T≤10000), indicating the number of test cases.

Each test case contains two integers n and k(1≤n,k≤10 9).

Output

Output the required answer modulo 10 9+7 for each test case, one per line.

Sample Input

2
4 2
5 5

Sample Output

5
1

题目大意：给出一个数n，按照题目的分解成公式，求数k在所有公式中出现的次数。

找规律

1=1

1：1个

2=1+1

2=2

1：2个

2：1个

3=1+1+1

3=1+2

3=2+1

3=3

1：5个

2：2个

3：1个

4=1+1+1+1

4=1+1+2

4=1+2+1

4=2+1+1

4=1+3

4=2+2

4=3+1

4=4

1：12 个

2；5个

3：2个

4：1个

5=1+1+1+1+1

5=1+1+1+2

5=1+1+2+1

5=1+2+1+1

5=2+1+1+1

5=1+1+3

5=1+3+1

5=3+1+1

5=1+2+2

5=2+1+2

5=2+2+1

5=2+3

5=3+2

5=1+4

5=4+1

5=5

1：28个

2：12个

3：5个

4：2个

5：1个

分析：

当k > n时，结果为0；
当k = n时，结果为1；
当k < n时，把n分成n个1即n=1+1+······+1+1，要想得到一个k即取出k个连续的1组成1个k即可。
设取出来的这k个1的第一位是x，则x的左边有(x-1)个1，根据题意可知，将(x-1)拆分共有2^(x-2)种拆分法，区间[x, x+k-1]所包含的1是取的连续的k个1，它的右边还有[n - (x+k-1)]个1，[n - (x+k-1)]有2^[n - (x+k-1) - 1] = 2^(n-b-k)种拆分法。因此，当取定这个位置的k时，有2^(x-2)
* 2^(n-x-k) = 2^(n-k-2)种情况（注意结果与x无关）。这里没有重复，因为计算每个位置的k只计算他自己一次，而不管其他地方是否也出现了k。
当x = 1时，x的左边没有1，右边有2^(n-b-k) = 2^(n-1-k)种拆分；
当x = n-k+1时，组成的k的右边没有1，左边有2^(b-2) = 2^(n-1-k)种拆分；
当2 <= x <= n-k时，就有(n-k-2+1) * 2^(x-2) * 2^(n-x-k)种拆分；
一共就是2^(n-b-k) + 2^(n-1-k) + (n-k-2+1) * 2^(b-2) * 2^(n-b-k) = (n-k+3)*2^(n-k-2)

注意由于数据比较大，因此用快速幂求解。

// m^n % k
int quickpow(int m,int n,int k)
{
int b = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1)
b = (b*m)%k;
n = n >> 1 ;
m = (m*m)%k;
}
return b;
}

AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <deque>
#include <list>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <numeric>
#include <iomanip>
#include <bitset>
#include <sstream>
#include <fstream>
#include <limits.h>
#define debug "output for debug\n"
#define pi (acos(-1.0))
#define eps (1e-4)
#define inf (1<<28)
#define sqr(x) (x) * (x)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ULL;
#define M 1000000007
long long quickpow(long long m,long long n,long long k)//注意数据类型long long型
{
int b = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1)
b = (b*m)%k;
n = n >> 1 ;
m = (m*m)%k;
}
return b;
}
int main()
{
long long i,t,n,k;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%ld%ld",&n,&k);
if(k>n)
printf("0\n");
else if(n==k)
printf("1\n");
else if(k==n-1)
printf("2\n");
else
printf("%ld\n",(n-k+3)*quickpow(2,n-k-2,M)%M);
}
return 0;
}