2015年国际奥数平面几何题欣赏

欣赏下吧，欣赏而已。我也做不出来。

先来一道

已知： ΔABC\Delta ABC 是锐角三角形，它的边AB>ACAB\gt AC; HH 是它的垂心; MM 是 BCBC 的中点; FF 是 BCBC 边上的垂足; ⊙γ\odot\gamma 是 ΔABC\Delta ABC 的外接圆;

DD是AHAH的中点; 以AHAH为直径的圆跟 ⊙γ\odot \gamma 相交于 AA 、QQ 两点；

以 QHQH为直径的圆为⊙β\odot \beta, 它与⊙γ\odot\gamma交于 QQ 、KK两点；

⊙α\odot\alpha 是 ΔKFM\Delta KFM 的外接圆。

假设⊙γ\odot\gamma上互不重叠的点从AA开始顺时针次序依次是AA、 QQ、 KK、 CC、 BB。

求证：⊙α\odot\alpha和⊙β\odot \beta相切。



据说证明涉及到“九点圆”，我搜了下，果然，已知条件中的很多几何要素都可以牵涉到这个冷僻概念。说冷其实也不冷，在单墫等人的奥数竞赛教材中这些知识点据说是常见的。



证明似乎不难。从红色九点圆有三个明显的内接直角三角形，可以发现容易找到三条直径。任意确定一个圆和直径，证明第四点跟直径上两点也为直角三角形则可以；进而四点四点地证明共圆，凑合着凑合着也就够了。

性质应该很漂亮

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；

3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；

4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。

5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。

九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。

设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

因为圆比较多,我觉得如果用反演来做应该能行; 可是反演只是一个几何变换而已，仅在极少特殊情况下能降低难度，看来得收回这句话

另起一题

ΔABC\Delta ABC 外接圆 ⊙α\odot \alpha 圆心为 OO ；D,ED,E是 BCBC上到 AA 等距的两个点。β\beta是以 AA 为圆心过 D,ED,E的圆。α\alpha和 β\beta 两圆交点 F,GF,G。ΔBDF\Delta BDF 的外接圆 交 ABAB 于 B,KB,K两点； ΔECG\Delta ECG 的外接圆 交 ACAC 于 C,LC,L 两点。 XX 是 FKFK 和 GLGL 延长线交点。两个圆 α,β\alpha, \beta 上点的次序如图所示。

求证：A,X,OA, X, O 三点共线。