斐波那契数列(公式)
2015-07-23 20:33
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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1568
Total Submission(s): 3947 Accepted Submission(s): 1817
[align=left]Problem Description[/align]
2007年到来了。经过2006年一年的修炼,数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来,CodeStar决定要考考他,于是每问他一个数字,他就要把答案说出来,不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了,可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。
[align=left]Input[/align]
输入若干数字n(0 <= n <= 100000000),每个数字一行。读到文件尾。
[align=left]Output[/align]
输出f
的前4个数字(若不足4个数字,就全部输出)。
[align=left]Sample Input[/align]
0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40
[align=left]Sample Output[/align]
0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023
要取前四位,用对数的方法log(fn)的小数部分是log(原数的科学计数法中前半部分),故10的这个小数次方就是这个原数的科学计数法中前半部分
如果是给定一个特定的数,当然可以逐步取出每一位即可。如
a得个位,a/10得百位,a/10/10得千位。
但是,当求x^y的前几位时怎么办呢?若x,y都非常大,则显然很难解决:也许可以用大数乘法,暴力求解,结果自然是既占内存,又耗时间。
还有,此题斐波拉契数列的前几位,显然求出每个斐波拉契数是不现实的。因此,可以采用取对数的方法来解决。
先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198,
要求该数的前4位,则将1.023443198*1000即可。
因此,pow(10.0,x的小数部分)即可方便求出x的前几位。
求一数的前4位的对数方法可以表述为:
double x,temp;
while(scanf("%lf",&x)!=EOF)
{
temp=log(x)/log(10.0);
temp=temp-floor(temp); //floor(temp)函数求出小于temp的最大整数
temp=pow(10.0,temp);
while(temp<1000)
temp*=10;
//printf("%.0lf\n",temp); //采用浮点表达法时会四舍五入
printf("%d\n",(int)temp);//此处不需四舍五入,直接舍弃后面的位
}
}
下面给出斐波那契数列通项公式:
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D246/sign=42c5afe59c25bc312f5d069c68df8de7/3ac79f3df8dcd100d591820a778b4710b9122f8f.jpg)
但是这个题要是直接套公式还是会超时,所以我们将通项公式左右取对数,化简得
log10(F(n))=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)
s = (1+sqrt(5.0))/2.0;
<提取的公因式s,然后将后面化成两式相乘的形式>
注意:其中第三部分非常小,当n很大时趋近于0,可以忽略掉。
下面给出代码
Fibonacci
Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 3947 Accepted Submission(s): 1817
[align=left]Problem Description[/align]
2007年到来了。经过2006年一年的修炼,数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列
(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。
接下来,CodeStar决定要考考他,于是每问他一个数字,他就要把答案说出来,不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了,可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。
[align=left]Input[/align]
输入若干数字n(0 <= n <= 100000000),每个数字一行。读到文件尾。
[align=left]Output[/align]
输出f
的前4个数字(若不足4个数字,就全部输出)。
[align=left]Sample Input[/align]
0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40
[align=left]Sample Output[/align]
0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023
要取前四位,用对数的方法log(fn)的小数部分是log(原数的科学计数法中前半部分),故10的这个小数次方就是这个原数的科学计数法中前半部分
求大数前几位的方法
当一个数非常大时,如何求出其前几位呢?如果是给定一个特定的数,当然可以逐步取出每一位即可。如
a得个位,a/10得百位,a/10/10得千位。
但是,当求x^y的前几位时怎么办呢?若x,y都非常大,则显然很难解决:也许可以用大数乘法,暴力求解,结果自然是既占内存,又耗时间。
还有,此题斐波拉契数列的前几位,显然求出每个斐波拉契数是不现实的。因此,可以采用取对数的方法来解决。
先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7
log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198,
要求该数的前4位,则将1.023443198*1000即可。
因此,pow(10.0,x的小数部分)即可方便求出x的前几位。
求一数的前4位的对数方法可以表述为:
double x,temp;
while(scanf("%lf",&x)!=EOF)
{
temp=log(x)/log(10.0);
temp=temp-floor(temp); //floor(temp)函数求出小于temp的最大整数
temp=pow(10.0,temp);
while(temp<1000)
temp*=10;
//printf("%.0lf\n",temp); //采用浮点表达法时会四舍五入
printf("%d\n",(int)temp);//此处不需四舍五入,直接舍弃后面的位
}
}
下面给出斐波那契数列通项公式:
![](http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D246/sign=42c5afe59c25bc312f5d069c68df8de7/3ac79f3df8dcd100d591820a778b4710b9122f8f.jpg)
但是这个题要是直接套公式还是会超时,所以我们将通项公式左右取对数,化简得
log10(F(n))=-0.5*log10(5.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0)+log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n)
s = (1+sqrt(5.0))/2.0;
<提取的公因式s,然后将后面化成两式相乘的形式>
注意:其中第三部分非常小,当n很大时趋近于0,可以忽略掉。
下面给出代码
#include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; /* double f (int n ) { return (1.0/sqrt(5.0))*(pow(((1.0+sqrt(5.0))/2),n)-pow( ((1.0-sqrt(5.0))/2),n ) ); } 这样处理以后还是会车超*/ int ff(int n ) { if(n==0) return 0; if(n==1) return 1; return ff(n-1)+ff(n-2); } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { //printf("%d ",(int)f(n)); if(n>=21) { //double temp = log(f(1.0*n))/log(10.0);//计算的时候还是会超 double s = (1+sqrt(5.0))/2.0; double temp = -0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0); temp = temp - floor(temp); temp = pow(10.0,temp); while(temp<1000.0) { temp*=10.0; } printf("%d\n",(int)temp); } else printf("%d\n",ff(n)); } return 0; }
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