L0Smoothing学习笔记

L0Smoothing学习笔记
参考文献：ImageSmoothing via L0 Gradient Minimization

声明：文中的图，大部分来自上述论文的作者的演讲PPT，而且这只是本人学习笔记，未经同意，不得装载。

       L0Smothing是大四上学期接触的，大四下学期放开没关注。研一时由于导师需要，则再次学习起来。不过也是上学期的时候了，现在觉得这个思想也是杠杠的，赶紧写个笔记，记录一下。

 

       L0范数表示集合的非零个数。关于范数的知识还是不说，这方面的数学知识略薄弱，这里只需要理解成非零个数了。

 

       因此先撇开L0范数的概念，对一张图片，一个信号来说。如图：取花图中小方框里的一个纵向信号。

 

         


可以看到，白色的信号(原来的信号)存在很多波动，这些波动在花图中变现为细节，比如花瓣上的脉络。而红色的信号则是白色信号的一个近似。可以看到，红色信号保留了白色信号的主要特征，同时，剔除了一些“多余”的波动(细节)。这样其实是一个Smoothing的过程。根据这一思想，去处理得到的对比结果，如下图。

 

       


       为了实现这样的目的，则需要建立如下方程：



这里，使用L0范数，‘#’表示计数，fp为输出，因此该表达式表示输出的非零个数或者说梯度不为零的个数等于k。



这里，fp为输出，gp为输入，这样最小化，可以让输出与输入相似。因此加起来，可以得到下面的优化方程。



从1D去理解这条方程：

 

  



  


 

可以看到，随着K的增长，输出(红色信号)不断的近似输入(白色信号)，而K的不同，优化的结果也不同程度地保留了信号的主要特征。

       接着，便是怎么去优化这个方程。可以做如下变换：

该变换，我的理解是使用了拉格朗日乘数法，将约束条件与优化问题相结合。详情可以去百度一下。

       不过做了这样的变化，还是不能直接求解，原因在于方程的前边段是基于像素的，可以说是局部的。而方程的后半段是约束了整个信号的梯度非零，可以说是全局的。这样不能直接求解。因此作者又做了一个变换：

通过引入两个变量，将L0范数的全局约束变成了局部约束。而这样的问题虽然去找一个全局最优节是一个NP难题，但是还是有法子去求解的。思想则是迭代。这个思想有点类似EM(ExceptionMaximization)算法。但个人还没有去证明是否等同，这个问题日后再说！？

注意：这时候已经转换到了2D图像的情况了。而要求解上图的问题，可以用一个近似：

这样近似，再用迭代的思想去求解，直到收敛即可。(看过代码，似乎是达到了迭代的最大次数)。而迭代则是分为两个问题。

其中，λ和β都是事先设置的，用于控制迭代的。剩下的便是实现细节了。这个日后有空在继续补充吧，暂时只需要记录这些。