POJ 2947-Widget Factory(高斯消元解同余方程式)

题目地址：POJ 2947

题意：N种物品，M条记录，接写来M行，每行有K，Start，End，表述从星期Start到星期End，做了K件物品，接下来的K个数为物品的编号。此题注意最后结果要调整到3-9之间。

思路：

很容易想到高斯消元。但是是带同余方程式的高斯消元，开始建立关系的时候就要MOD 7

解此类方程式时最后求解的过程要用到扩展gcd的思想，举个例子，如果最后得到的矩阵为：

1 1 4

0 6 4

则6 * X2 % 7= 4 % 7 则相当于6 * X2 + 7 * Y = 4，利用扩展gcd则可求出X2为3，则第一个方程为

X1 * 1 % 7 + 1*3 % 7 = 4 % 7 则相当于 X1 + 7 * Y = 1 得到X1=1；

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double pi= acos(-1.0);
const double esp=1e-6;
const int MAXN=310;
int aug[MAXN][MAXN];<span style="background-color: rgb(255, 255, 255);">//增广矩阵行数为m,分别为0到m-1,列数为n+1,分别为0到n.</span>
int x[MAXN];//解集
int free_num;
int m,n;//m个方程，n个变元
int gcd(int a,int b) {
int r;
while(b!=0) {
r=b;
b=a%b;
a=r;
}
return a;
}
int lcm(int a,int b) {
return a/gcd(a,b)*b;
}
/*void Debug(void)
{
puts("");
int i,j;
for(i=0;i<m;i++){
for(j=0;j<n+1;j++){
cout << matrix[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}*/
int trans(char *str) {
if(strcmp(str,"MON")==0) return 1;
else if(strcmp(str,"TUE")==0) return 2;
else if(strcmp(str,"WED")==0) return 3;
else if(strcmp(str,"THU")==0) return 4;
else if(strcmp(str,"FRI")==0) return 5;
else if(strcmp(str,"SAT")==0) return 6;
else if(strcmp(str,"SUN")==0) return 7;
}
// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-1表示无解，
//0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Gauss() {
int i,j;
int row,col,max_r;// 当前这列绝对值最大的行;
int LCM;
int ta,tb;
int tmp;
for(row=0,col=0; row<m&&col<n; row++,col++) {
// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第row行交换.(为了在除法时减小误差)
max_r=row;
for(i=row+1; i<m; i++) {
if(abs(aug[i][col])>abs(aug[max_r][col]))
max_r=i;
}
if(max_r!=row) {
// 与第row行交换
for(j=row; j<n+1; j++)
swap(aug[row][j],aug[max_r][j]);
}
if(aug[row][col]==0) {
// 说明该col列第row行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
row--;
continue;
}
for(i=row+1; i<m; i++) {
// 枚举要删去的行.
if(aug[i][col]!=0) {
LCM=lcm(abs(aug[i][col]),abs(aug[row][col]));
ta=LCM/abs(aug[i][col]);
tb=LCM/abs(aug[row][col]);
if(aug[i][col]*aug[row][col]<0) tb=-tb;//异号的情况是相加
for(j=col; j<n+1; j++) {
aug[i][j]=(((aug[i][j]*ta-aug[row][j]*tb)%7+7)%7);
}
}
}
}
//Debug();
// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
for(i=row; i<m; i++) {
if(aug[i][col]!=0)  return -1;
}
// 2. 无穷解的情况: 在n * (n + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
// 且出现的行数即为自由变元的个数.
if(row<n){
return n-row;
}
// 3. 唯一解的情况: 在n * (n + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
for(i=n-1; i>=0; i--) {
tmp=aug[i]
;//等式右边的数
for(j=i+1; j<n; j++) {
if(aug[i][j]!=0) tmp-=aug[i][j]*x[j];//把已知的解带入，减去，只剩下，一个未知的解
tmp=(tmp%7+7)%7;
}
while(tmp%aug[i][i]!=0)//外层每次循环都是为了求 a[i][i],因为它是每个方程中唯一一个未知的变量（求该方程时）
tmp+=7;//因为天数不确定，而aug[i][i]必须得为整数才可以，周期为7
x[i]=(tmp/aug[i][i])%7;
}
return 0;
}
int main(void) {
int nn,mm,i,j,k;
int num;
char Start[5],End[5];
while(~scanf("%d %d",&nn,&mm)) {
if(nn==0&&mm==0) break;
n=m=0;
memset(aug,0,sizeof(aug));
for(i=0; i<mm; i++) {
scanf("%d",&k);
scanf("%s %s",Start,End);
aug[i][nn]=((trans(End)-trans(Start)+1)%7+7)%7;
for(j=1; j<=k; j++) {
scanf("%d",&num);
num--;
aug[i][num]++;
aug[i][num]%=7;//有重复的
}
}
m=mm;
n=nn;
free_num = Gauss();
if(free_num==0) {
for(i=0; i<n; i++)
if(x[i]<3)//根据题意，每个零件的加工时间在3-9天.
x[i]+=7;
for(i=0; i<n-1; i++)
printf("%d ",x[i]);
printf("%d\n",x[i]);
} else if(free_num==-1)
puts("Inconsistent data.");
else
puts("Multiple solutions.");
}
return 0;
}