算法时间复杂度

flyfish 2015-7-21

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n > N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n）是关于问题规模n的函数，进而分析T(n）随n的变化情况并确定T(n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n）是问题规模n的某个函数。 这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。 一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶：

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是

O(1) < O(lognlogn) < O(nn) < O(nlognnlogn) < O(n2n^2) < O(n3n^3) < O(2n2^n) < O(n!n!) < O(nnn^n)

以上引用自《大话数据结构》

渐近分析

考虑算法在输入规模趋向无穷时的效率分析就是渐近分析。

渐近分析就是：忽略具体机器、编程或编译器的影响，只观察在输入尺寸n取趋向无穷时算法效率的表现.

O、Ω、Θ表示

O 想象成 ⩽\leqslant 函数的渐近上界

Ω 想象成 ⩾\geqslant 函数的渐近下界

Θ 想象成 == 函数的准确界

以上引用自《算法之道》

Θ(g(n))={f(n)f(n):存在正常数c1,c2c_1,c_2和n0n_0，使对所有的n⩾n0，有0⩽c1g(n)⩽f(n)⩽c2g(n)n\geqslant n_0，有0 \leqslant c_1g(n) \leqslant f(n)\leqslant c_2g(n) }

O(g(n))={f(n)f(n): 存在正常数c和n0n_0，使对所有n⩾n \geqslant n0n_0，有0⩽f(n)⩽cg(n)0 \leqslant f(n) \leqslant cg(n) }

Ω(g(n))={f(n)f(n): 存在正常数c和n0n_0，使对所有n ⩾\geqslant n0n_0，有0⩽cg(n)⩽f(n)0 \leqslant cg(n) \leqslant f(n) }

o(g(n))={f(n)f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0n_0>0，使对所有的n⩾n0n\geqslant n_0，有0⩽f(n)⩽cg(n)0 \leqslant f(n) \leqslant cg(n) }

ω(g(n))={f(n)f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0n_0>0，使对所有的n⩾n0n \geqslant n0，有0⩽cg(n)<f(n)0 \leqslant cg(n) }

以上引用自《算法导论》

Ω : omega 美[o’mɛɡə]希腊字母表的最后一个字

Θ: theta 美[‘θitə] 希蜡字母的第八字