集合划分
2015-07-19 22:04
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问题描述:给定含有n个元素的集合{1,2,...,n},可以将其划分为若干非空子集。例如,当n=4时,集合{1,2,3,4}可以构造15个不同的划分,如下。
{{1},{2},{3},{4}}
{{1234}}
{{1},{234}};{{2},{134}};{{3},{124}};{{4},{123}}
{{12},{34}};{{13},{24}};{{14},{23}}
{{1},{2},{34}};{{1},{3},{24}};{{1},{4},{23}}
{{12},{3},{4}};{{13},{2},{4}};{{14},{2},{3}}
编程任务:给定正整数n,试计算含有n个元素{1,2,3,...,n}可以划分为多少个不同的非空子集。
思路:对于n个元素的集合,可以划分成由m(1<=m<=n)个子集构成的子集,如{{1},{2},{3},{4}}就是由4个子集构成的非空子集。假设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子集构成的集合的个数,那么可以这样来看:
1)若m==1,则f(n,m)=1;
2)若n==m,则f(n,m)=1;
3)若非以上两种情况,f(n,m)可以由下面两种情况构成
a.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一个新的元素,则有m*f(n-1,m)种方法;
b.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合,则有f(n-1,m-1)种方法。
因此:
当m==1||n==m时 f(n,m)=1
当m<n&&m!=1时 f(n,m)=f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m)
参考代码:
{{1},{2},{3},{4}}
{{1234}}
{{1},{234}};{{2},{134}};{{3},{124}};{{4},{123}}
{{12},{34}};{{13},{24}};{{14},{23}}
{{1},{2},{34}};{{1},{3},{24}};{{1},{4},{23}}
{{12},{3},{4}};{{13},{2},{4}};{{14},{2},{3}}
编程任务:给定正整数n,试计算含有n个元素{1,2,3,...,n}可以划分为多少个不同的非空子集。
思路:对于n个元素的集合,可以划分成由m(1<=m<=n)个子集构成的子集,如{{1},{2},{3},{4}}就是由4个子集构成的非空子集。假设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子集构成的集合的个数,那么可以这样来看:
1)若m==1,则f(n,m)=1;
2)若n==m,则f(n,m)=1;
3)若非以上两种情况,f(n,m)可以由下面两种情况构成
a.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一个新的元素,则有m*f(n-1,m)种方法;
b.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一个由一个元素形成的独立的集合,则有f(n-1,m-1)种方法。
因此:
当m==1||n==m时 f(n,m)=1
当m<n&&m!=1时 f(n,m)=f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m)
参考代码:
#include<stdio.h> int f(int n,int i) { if(i==1||n==i) return 1; else return f(n-1,i-1)+f(n-1,i)*i; } int main() { int i,j; int n,sum=0; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) sum+=f(n,i); printf("%d\n",sum); return 0; }
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