关于能量谱、功率谱和时域信号

能量谱与功率谱

能量谱与功率谱分别是针对能量有限的信号和功率有效的信号。在进行信号的谱分析的时候一定更要看准这是一个能量信号还是一个功率信号，应用不同的谱进行分析会使问题的解决思路更加明确。

能量谱

对于周期功率信号我们使用傅里叶级数的方法进行分析。指数形式的傅里叶级数系数的求解用下面的公式。

cn=1T∫t1+Tt1f(t)e−jnΩtdt

对于非周期的能量信号，我们主要使用傅里叶分析方法进行分析。

F(jΩ)=limT→∞TA˙n2=limΩ→0πA˙nΩ

F(jΩ)=∫∞−∞f(t)e−jΩtdt

下面我们利用这个数学工具对这样一个简单的信号y=f(t)=cos(t)进行分析。这个信号是功率信号，按理说，我们应该使用功率谱进行分析。但事实是我们知道这个信号是有频谱函数表达的。

F{cos(ωt)}=π[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)]

这个并不矛盾，因为这个函数的频谱函数中使用的是单位冲击函数δ(t)，而这是一个特殊函数。

功率谱

由于cos(ωt)是一个周期函数，因此它的能量是无限的。但是cos(ωt)的积分是有限的，这一点说明我们也可以有功率谱来描述这个信号。

笔者在学习通信原理OOK信号的功率谱时产生了疑问。如下式，

P2ASK(f)=14[Ps(f+fc)+Ps(f−fc)]

其中，fc 为中心频率。

如果说 cos(ωt)的频率谱是π[δ(ω−ω0)+δ(ω+ω0)]，那么考虑ω与f之间的2π关系之后，卷积的结果应该是，P2ASK(f)=12[Ps(f+fc)+Ps(f−fc)]

造成这种误解的原因在于频率谱与功率谱的混淆。余弦信号作为一个周期信号，应当使用周期信号的巴塞伐尔定理定理来计算其功率谱密度。定理证明详见

《通信原理(第6版)》樊昌信 曹丽娜 编著国防工业出版社 附录A

最终的结果应该是P2ASK(f)=14[Ps(f+fc)+Ps(f−fc)]