位运算的简单总结

位运算的简单总结


在ACM训练中听老师讲了一些位运算的技巧，又看了大牛们写的关于位运算的一些总结，自己想学习学习，就把老师讲的和各位大牛们写的再总结一下，位运算通过位操作符的运算，可以简化一些复杂问题的计算。比如判断一个数是不是2的n次幂。是不是4的n次幂.

1.一些运算符的介绍与含义

运算符　　含义

&　　　　按位与

|　　　　按位或

^ 　　　按位异或

~　　　按位取反

<< 　　左移

>> 　　右移

2.位运算最简单的应用，判断一个数的奇偶性。

大家都知道判断一个数的奇偶性可以用n%2来判断，实际上奇数的二进制最后一位是1，偶数的二进制最后一位是0，因此只需要用n&1就可是判断这个数的奇偶性。结果为就是奇数，结果为0就是偶数。

3.用位运算来判断一个数是不是2的n次幂。

如果一个数是2的n次幂，则n&(n-1)==0；比如8的二进制是1000，则7的二进制就是0111，想与的到结果，这只是四位表示，在电脑中的32位或者64位表示的原理是一样，但如果这个数是0的话，n&(n-1)==0；所以判断一个数是不是2的正整数次幂的表达式是（！n&(n-1)&&n）

4 快速判断一个数是不是4的n次幂

我们刚才讲了快速判读一个数是不是2的n次幂，那么问题来了，能不能快速判断一个数是不是4的n次幂，4的二进制是0100，16的二进制是0001 0000，64的二进制是 0100 0000。我们可以发现4的n次幂二进制表达形式的权值都在奇数位上，即1出现在奇数位。那么16进制的A刚好是1010，奇数位都为0，那么n&0xAAAAAAAA（16进制表达，二进制一共32位）。如果结果为0，并且n！=0，那么n就是4的n次幂。判断式为n&(0xAAAAAAAA).

5.判断一个数组中只出现一次的数，而其他数都出现两次。

我们知道位运算的异或运算，两位相同的0，不同的1，那么两个相同的数进行异或运算，结果肯定为0，一个数与0进行异或运算，结果肯定是它本身。那么我们就可以的到判断的代码

<span style="font-size:18px;">int get_result(int a
)
{
int result=0;

for(int i=0;i<n;i++)
{
result^=a[i];
}
return result;
}</span>

6 判断一个数组中只出现一次的两个数，其它数都出现两次



刚才我们能判断只出现一次的一个数，那么我们同样进行异或运算，可以得到一个数c，假设两个只出现一次的数位a,b那么c=a^b.我们只需要找到c中二进制位权值为1的位，说明a和b在这两个位上的权值肯定不一样，一个是1，一个是0，那么我们可以根据这个位是1还是0，把数组中数分为两组分别进行异或运算，最终我们就得到了两个数。下面是我撸的代码

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100];
int main()
{
	int n;
	
	cin >> n;
	int result=0;
	int result1 = 0;
	int result2 = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> a[i];
		result ^= a[i];//result最后的结果为a^b
	}
	int k = 1;
	int count = 1;//用来记录result中权值为1的为
	while (result&k != 1)
	{
		count++;
		k << 1;//将1向左移动一位
	}
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (a[i] & (1 << (k - 1)))//k-1为将1移到k位需要移动的位数，判断k为是1
		{
			result1 ^= a[i];
		}
		else
		{
			result2 ^= a[i];
		}
		
	}
	cout << result1 << ' ' << result2 << endl;
	return 0;
}

判断数组中一个数出现一次，其它数都出现三次
同样用位运算的思想，但是不能直接用异或运算就能解决，首先我们知道一个数的二进制表达形式，不是1就是0，那么我们对二进制中的每个位相加mod3，最后的结果肯定是0，再把所有的数与0进行或运算，就可以得到我们要的数了。
测试代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int i,n;
	int a[18];
	int count[32]={0};
	int result=0;
	cin>>n;
	for( i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for( i=0;i<32;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			if(1&(a[j]>>i))//从低位依次向高位扫描，是1相加。将所有数二进制这个位上的和相加
			{
				count[i]++;
			}
		}
		result|=((count[i]%3)<<i);//从低位到高位进行与运算，依次确定每一位，得到只出现一次的数
	}
	cout<<result<<endl;
	return 0;
}

7求二进制最低位的权值是多少，转化为10进制

n&(n-1)可以消去二进制最低位的1，如1100&1011得到1000，再用1100-1000就可以得到最低位的权值。n-(n&(n-1)).(没使用过这个公式，学习介绍一下)

8求一个数二进制中1的个数

while(n!=0){
             count++;
             n=n&(n-1);
        }

也可以不断进行移位相与运算判断，没这种方法简单

8求商或者余数，更多用来取余运算

学了位运算，大家都知道2^k就是1<<k;移位运算符的操作，那么我们要求n%(2^k)是多少？答案是n&((1<<k)-1) ps这个公式怎么证明不知道，希望知道的人看到告诉我一下。日后再看看

说到取模运算，那我们不得不说神速的快速幂算法，首先得了解一下秦九韶算法

把一个n次多项式f(x) = a
x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：

　　f(x) = a
x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]

　　= (a
x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]

　　= ((a
x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]

　　=. .....

　　= (......((a
x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].

　　求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

　　v[1]=a
x+a[n-1]

　　然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

　　v[2]=v[1]x+a[n-2]

　　v[3]=v[2]x+a[n-3]

　　......

　　v
=v[n-1]x+a[0]

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

那么(a*b)%c=(a%c)*b%c

a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c

即a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c

于是再把所有满足a(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位

任意一数都可以化为2的多少次幂相加。

ps:公式来自http://blog.sina.com.cn/s/blog_959bf1d301019hns.html

快速幂算法也需要这两个明显的公式



我们就可以得到快速幂的迭代算法

int PowerMod(int a,int b,int c)
{
   int ans=1;
   a=a%c;
while(b>0)
{
   if(a&1)//判断是奇数还是偶数
    {
        ans=ans*a%c;
     }
b>>=1;
a=a*a%c;
}
return ans;
}

快速幂主要用来计算啊a^b%c=?b值非常非常大的时候

不用除法得到商和余数，计算机中的除法是通过减法来实现，我们可以模拟减法实现，如a/b可以写a-b-b……一直到的数小于b，为了加快速度，我们也可以a-b-2b-4b……,来实现

代码如下

#include<iostream>
using namespace std;
int a[100];
int main()
{
	int res=0;//商
	int mod=0;//余数
	int a;//除数
	int b;//被除数
	cin >> b>>a;
	if (a < 0)
		a = -a;
	if (b < 0)
		b = -b;
	
	while (b >= a)
	{
		int temp = a;
		int i = 0;
		while (  b >=temp )
		{
			b -= temp; 
			res += 1 << i;
			i++;
			temp <<= 1;
		}
	}
	mod = b;
	if ((a > 0 && b < 0) || (a < 0 && b>0))
	{
		res = -res;
	}
		cout << res << ' ' << mod << endl;
	
	return 0;
}

9：整数的平均值

对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

int average(int x, int y) //返回X,Y 的平均值

{
 return (x&y)+((x^y)>>1);
}

10.位运算的其它一些技巧

功能 | 示例 | 位运算

----------------------+---------------------------+--------------------

去 掉最后一位 | (101101->10110) | x >> 1

在最后加一个0 | (101101->1011010) | x << 1

在最后加一个1 | (101101->1011011) | x << 1+1

把最后一位变成1 | (101100->101101) | x | 1

把最后一位变成0 | (101101->101100) | x | 1-1

最后一位取反 | (101101->101100) | x ^ 1

把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x | (1 << (k-1))

把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x & ~ (1 << (k-1))

右数第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x ^ (1 << (k-1))

取末三位 | (1101101->101) | x & 7

取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x & ((1 << k)-1)

取 右数第k位 | (1101101->1,k=4) | x >> (k-1) & 1

把 末k位变成1 | (101001->101111,k=4) | x | (1 << k-1)

末 k位取反 | (101001->100110,k=4) | x ^ (1 << k-1)

把 右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x & (x+1)

把右起第一个0变成 1 | (100101111->100111111) | x | (x+1)

把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x | (x-1)

取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x ^ (x+1)) >> 1

去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x & (x ^ (x-1))

先总结这么多吧，以后遇到再加上………………