UVA 10735 Euler Circuit 混合图的欧拉回路（最大流，fluery算法）

题意：给一个图，图中有部分是向边，部分是无向边，要求判断是否存在欧拉回路，若存在，输出路径。

分析：欧拉回路的定义是，从某个点出发，每条边经过一次之后恰好回到出发点。

　　无向边同样只能走一次，只是不限制方向而已，那么这个情况下就不能拆边。不妨先按照所给的start和end的顺序，初步定下该无向边的顺序（若不当，一会再改）。那么有个问题，我们需要先判断其是否存在欧拉回路先。

　　混合图不满足欧拉回路因素有：（1）一个点的度（无论有无向）是奇数的，那么其肯定不能满足出边数等于入边数。（2）有向边的出入度过于悬殊（悬殊是指，拿所有无向边来怎么抵消都是不平衡）。

　　首先可以先将不满足上述两个条件的case结束掉，无解。

　　那么还有个问题，这样随便地定下一条无向边为随意一个方向不是太随意了吗？当然，这样做不可能保证每个点的出入度就平衡了，所以我们得想办法让每个点的出入度都平衡。考虑到，如果一个点的出度多了，那么该点可以将多出的部分出度换回来入度，这相当于将出度“流向”其他需要出度的点。好像可以最大流解决，好吧，接下来讲建图。

　　建图。对于任意一条无向边（被我们已经随意定向的那些)，假设其方向初定位u-v。那么u有出度可以赠人了，所以新图中u到v有边，容量是1，表示将出度送给v，当然自己就会获得入度1个。但是并不是所有的点u的出度都很多以至于可以送人，不过其出度可以赠人这倒是没错的，看它肯不肯了。当chudu[u]>rudu[u]时，必定可以给人，且可以给(chudu[u]-rudu[u])/2，这很明显。那么应该有边从源点到u，容量为(chudu[u]-rudu[u])/2，表示其可以流出这么多个出度（注意别重复建边）。同理，对于缺入度的点，应该有边到汇点，容量为(rudu[v]-chudu[v])/2。这样图就建成。

　　建完图后还要再判断一次是否有解，即当从源点出来的容量和到达汇点的容量不一致时，无解。因为缺入度的点和缺出度的点数不一样多，平衡不了。

　　若有解，再对新图来求一次最大流，最大流应该等于源点到其他点的容量之和。及所有点都平衡好了。所有有flow>0的边都是需要反过来的。全部在原图上修改后，重新建邻接表，进行求欧拉回路路径，这个用fluery算法即可。

　　特别需要注意的是：2个case间要空行。

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pii pair<int,int>
#define INF 0x7f7f7f7f
using namespace std;
const int N=150;
vector<int> vect
, vec
, ans;

int can
, notru
, notchu
, chu
, ru
, edge_cnt, sum_flow1, sum_flow2, vis[550];

bool check(int n)   //保证有解
{
for(int i=1; i<=n; i++)    if( 1==(1&(ru[i]+chu[i])) )  return false;    //奇数个度
for(int i=1; i<=n; i++)     //每个点可以补救。若不可改出度为100,入度为2，肯定不行。得补得上才行
{
if( can[i]-abs(notru[i]-notchu[i])>=0 )    continue;
else    return false;
}
return true;
}

struct node //网络流用的边
{
int from;
int to;
int cap;
int flow;
int has;
int isU;
}edge[4000], edg[550];

void add_node(int from,int to,int cap,int flow,int has)
{
edge[edge_cnt].from=from;
edge[edge_cnt].to=to;
edge[edge_cnt].cap=cap;
edge[edge_cnt].flow=flow;
edge[edge_cnt].has=has;
vect[from].push_back(edge_cnt++);
}

bool vis1
, vis2
;
void build_graph(int n,int m)    //根据无向边建图。
{
memset(vis1,0,sizeof(vis1));
memset(vis2,0,sizeof(vis2));
for(int i=0; i<m; i++)
{
if(edg[i].isU)
{
int a=edg[i].from;
int b=edg[i].to;
add_node(a, b, 1, 0, i);  //a的出度可给人
add_node(b, a, 0, 0, i);

if(!vis1[a] && chu[a]>ru[a] )      //出度多，可流向别人
{
sum_flow1+=(chu[a]-ru[a])/2;
vis1[a]=1;
add_node(0, a, (chu[a]-ru[a])/2, 0, -1);  //源点-（出边多的点）
add_node(a, 0, 0, 0, -1);
}
if(!vis2[b] && ru[b]>chu[b])    //所有缺边的都连到汇点
{
sum_flow2+=(ru[b]-chu[b])/2;
vis2[b]=1;
add_node(b, n+1, (ru[b]-chu[b])/2, 0, -1 );
add_node(n+1, b, 0, 0, -1 );
}
}
}
}

int flow
, path
;
int BFS(int s,int e)
{
deque<int> que(1,s);
flow[s]=INF;
while(!que.empty())
{
int x=que.front();
que.pop_front();
for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
{
node e=edge[vect[x][i]];
if(!flow[e.to] && e.cap>e.flow )
{
flow[e.to]=min(flow[e.from],e.cap-e.flow );
path[e.to]=vect[x][i];
que.push_back(e.to);
}
}
if(flow[e]) return flow[e];
}
return flow[e];
}

int cal(int s,int e)   //求最大流。只能满流有解
{
int ans_flow=0;
while(true)
{
memset(flow,0,sizeof(flow));
memset(path,0,sizeof(path));
int tmp=BFS(s,e);
if(tmp==0)  return ans_flow;
ans_flow+=tmp;
int ed=e;
while(ed!=s)
{
int t=path[ed];
edge[t].flow+=tmp;
edge[t^1].flow-=tmp;
ed=edge[t].from;
}
}
}

void change_edge(int m)      //改变边的方向，重新建邻接表。
{
for(int i=0; i<edge_cnt; i+=2)
if(edge[i].has>=0 && edge[i].flow>0 )  //有流过的才需要改
swap(edg[edge[i].has].from , edg[edge[i].has].to );

for(int i=0; i<N; i++)    vec[i].clear();
for(int i=0; i<m; i++)    vec[edg[i].from].push_back(i);  //重新建立临接表
}

void fluery(int x)   //任意一个点开始即可
{
for(int i=0; i<vec[x].size(); i++)
{
int t=vec[x][i];
if(!vis[t]) //该边没遍历过
{
vis[t]=1;
fluery(edg[t].to);
}
}
ans.push_back(x);
}

void init()
{
edge_cnt=0;
sum_flow1=0;
sum_flow2=0;
memset(can, 0, sizeof(can));
memset(notru, 0, sizeof(notru));
memset(notchu, 0, sizeof(notchu));
memset(chu, 0, sizeof(chu));
memset(ru, 0, sizeof(ru));
memset(edge, 0, sizeof(edge));
memset(edg, 0, sizeof(edg));
for(int i=0; i<N; i++)
vec[i].clear(),vect[i].clear();
}

int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
int t, a, b, n, m;
char c;
cin>>t;
while(t--)
{
init();
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=0; i<m; i++)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
while((c=getchar())==' ' );
//cin>>c;
//原图*************************
edg[i].from=a;
edg[i].to=b;
edg[i].isU=(c=='U'?1:0);
vec[a].push_back(i);
//统计度***********************
chu[a]++,ru[b]++;                         //总出入度
if(c=='U')    can[a]++,can[b]++;          //保存无向边的度
else          notru[b]++,notchu[a]++;     //登记有向边的出入度
}

if(!check(n))    puts("No euler circuit exist");  //检查是否有解
else
{
build_graph(n, m);  //建临时图edge
if(sum_flow1!=sum_flow2 || cal(0, n+1)!=sum_flow1   )        //增广路求最大流
{
puts("No euler circuit exist");
if(t)   printf("\n");
continue;
}
change_edge(m);     //改变有流的边，重建原图edg的邻接表
memset(vis, 0, sizeof(vis));
ans.clear();
fluery(n);  //求欧拉回路路径
for(int i=ans.size()-1; i>0; i--)    printf("%d ",ans[i]); //反向输出路径
printf("%d\n",ans[0]);
}
if(t)   printf("\n");
}
return 0;
}

AC代码