约瑟夫环问题

约瑟夫环问题是一个数学的应用问题：已知M个人（以编号1，2，3...M分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为1的人开始报数，数到N的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到N的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人只剩下一人。

一、问题的来历

　　据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus
和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

二、递推，还是递推

　　发现出题的爱出递归的大题。动态规划也是用递归思想。

　　可是，目前俺还没来得及搞懂。。。感觉脑袋不够用啊。

三、问题的延展

　　考官觉得直接的约瑟夫还不够搞死人，还延展了。

　　N只猴子围在一圈选大王，从1开始数，数到M的猴子退出圈外，从下一只猴子继续从1开始数，数到N的猴子再退出圈外（M>N）。如果最初编号为S的猴子最后当了大王，求最小的N是多少。



四、解决思路

　　这里有一个“陷阱”，N只猴子，要从0开始编号，编号到(N-1)，从0开始数数，数到（M-1)的猴子退出，最后得到的结果再加1，就得到从1开始编号，从1开始数数情况下的编号。因为计算机算余数，是有0的。

　　M只猴子，最后只剩一只，那么要淘汰M-1轮。

　　初始编号为： 0, 1, ..., m-1, m, ..., N-1，淘汰编号m-1的猴子，从m开始重新编号0，那么，

　　第1轮后编号为：N-m, N-m+1,..., 0, 1,..., N-1-m，共N-1个，可以发现，X[0]=(X[1]+m) mod N。

递推可以得到规律： X[i]=(X[i+1]+m) mod (N-i)。

　　最后一轮编号必然是X[N-1]=0。那么剩下2个的时候，其编号X(N-2) =(0+m) mod 2。

　　那么用一个循环来倒推，就可以得到最后剩下的猴子的原始编号了。

　int nTotleNum=0, nExit=0, nStay=0;

cout<<"请输入总共有多少只猴子：";

cin>>nTotleNum;

cout<<"请输入从1数到第几个猴子退出：";

cin>>nExit;

//N只猴子，从0开始编号，从0开始数数，数到（m-1)的猴子退出，最后得到的结果再加1，就得到从1开始编号，从1开始数数情况下的编号。

int nTmpPos=0;

for(int nPos=2;nPos<=nTotleNum;nPos++)

{

nTmpPos = (nTmpPos+nExit)%nPos;

}

nTmpPos += 1;
cout<<endl<<"最后留下原来编号是："<<nTmpPos<<"的猴子。"<<endl;

如果是指定最后留下的猴子编号，那么用从2开始遍历，可以得到数到多少退出，最后留下指定编号的猴子。

　cout<<"请输入你打算最后让第几只猴子留下：";

cin>>nStay;

//从数到2开始

nExit = 1;

nTmpPos = 0;

do

{

nExit++;

nTmpPos=0;

for(int nPos=2; nPos<=nTotleNum; nPos++)

{

nTmpPos = (nTmpPos+nExit)%nPos;

}

nTmpPos += 1;

}while(nTmpPos!=nStay);

cout<<"至少要数到"<<nExit<<"退出，就能保留你指定的猴子。"<<endl;