BZOJ 3160 万径人踪灭 解题报告

这个题感觉很神呀。将 FFT 和 Manacher 有机结合在了一起。

首先我们不管那个 “不能连续” 的条件，那么我们就可以求出有多少对字母关于某一条直线对称，然后记 $T_i$ 为关于直线 $i$ 对称的字母对的数量，那么答案（暂记为 $Ans$）就会是：

$$Ans = \sum 2^{T_i}-1$$

在不管那个 “不能连续” 的条件的时候，这个应该是显然的。

怎么算的话，我们弄两次。分别把 $a$ 和 $b$ 当做 $1$，另一个当做 $0$，然后就可以得到一个多项式，将这个多项式平方一下就可以得到所有的 $T_i$ 了，具体用 FFT 实现。

那么我们来管一管这个条件。

我们就可以用 Manacher 求出每一条直线的最长回文半径，然后记 $R_i$ 为直线 $i$ 的最长回文半径，那么实际上的总答案就会是：

$$Ans - \sum R_i$$

然后就做完啦。令 $n$ 为字符串的长度：

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间复杂度 $O(n)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 262144 + 5
#define _Mod 1000000007
#define Mod 998244353
#define g 3

int n, len, Inv_len, d, ans, e[2]
, Rev
, A
, T
, R
;
char s
;

inline int Inc(int u, int v, int p)
{
return u + v - (u + v >= p ? p : 0);
}

inline int power(int u, int v, int p)
{
int res = 1;
for (; v; v >>= 1)
{
if (v & 1) res = (LL) res * u % p;
u = (LL) u * u % p;
}
return res;
}

inline void FFT_Prepare()
{
for (len = n << 1; len != (len & -len); len += (len & -len)) ;
for (int i = len; i > 1; i >>= 1) d ++;
int w = power(g, (Mod - 1) / len, Mod);
int Inv_w = power(w, Mod - 2, Mod);
Inv_len = power(len, Mod - 2, Mod);
for (int i = 0; i < len; i ++)
{
e[0][i] = !i ? 1 : (LL) e[0][i - 1] * w % Mod;
e[1][i] = !i ? 1 : (LL) e[1][i - 1] * Inv_w % Mod;
for (int j = 0; j < d; j ++)
if ((i >> j) & 1) Rev[i] += 1 << (d - j - 1);
}
}

inline void FFT(int *p, int op)
{
for (int i = 0; i < len; i ++)
if (Rev[i] > i) swap(p[Rev[i]], p[i]);
for (int k = 1, s = 1; k < len; k <<= 1, s ++)
for (int i = 0; i < len; i ++)
{
if (i & k) continue ;
int t = (i & (k - 1)) << (d - s);
int u = Inc(p[i], (LL) p[i + k] * e[op][t] % Mod, Mod);
int v = Inc(p[i], (LL) (Mod - p[i + k]) * e[op][t] % Mod, Mod);
p[i] = u, p[i + k] = v;
}
}

inline void FFT_Work(char key)
{
memset(A, 0, sizeof(A));
for (int i = 0; i < n; i ++)
A[i] = (s[i] == key);
FFT(A, 0);
for (int i = 0; i < len; i ++)
A[i] = (LL) A[i] * A[i] % Mod;
FFT(A, 1);
for (int i = 0; i < len; i ++)
T[i] = Inc(T[i], (LL) A[i] * Inv_len % Mod, Mod);
}

inline void Manacher()
{
for (int i = (n << 1); i >= 0; i --)
s[i] = i & 1 ? s[i >> 1] : 'c';
int mx = -1, id;
for (int i = 0; i <= (n << 1); i ++)
{
if (mx > i)
R[i] = min(R[id * 2 - i], mx - i);
else R[i] = 1;
for (; i + R[i] <= (n << 1) && i - R[i] >= 0 && s[i + R[i]] == s[i - R[i]]; R[i] ++) ;
if (i + R[i] > mx)
mx = i + R[i], id = i;
}
}

int main()
{
scanf("%s", s);
n = strlen(s);
FFT_Prepare();
for (char ch = 'a'; ch <= 'b'; ch ++)
FFT_Work(ch);
for (int i = 0; i < len; i ++)
{
T[i] = (T[i] + 1) >> 1;
ans = Inc(ans, power(2, T[i], _Mod) - 1, _Mod);
}
Manacher();
for (int i = 0; i <= (n << 1); i ++)
ans = Inc(ans, _Mod - R[i] / 2, _Mod);
printf("%d\n", ans);

return 0;
}

3160_Gromah