树状数组小结

树状数组看了很久终于懂了！！

以下就是我的理解（参考白书P194以及点击打开链接）

树状数组也就是二叉索引树（Binary Indexed Tree，BIT）

它的作用就只有两个：1、单点更新 2、区间求和

一、lowbit的理解

定义：lowbit（x）是x的二进制表达式中最右边的1所对应的值。

比如，6的二进制是110，所以lowbit（6）=2

在代码中lowbit（x） = x&-x

在计算机中，整数采用补码表示，so，-x实际上就是x按位取反，末尾加1后的结果

举个例子：

38288 = 1001010110010000

-38288 = 0110101001110000（38288按位取反后是0110101001101111，加1后就是0110101001110000）

二者按位取“与”后，就是10000，即16，lowbit（38288）=16

二、BIT简介



灰色结点是BIT中的结点，每一层结点的lowbit值相等，而且lowbit值越大越靠近根，虚线是BIT的边，编号0是虚拟结点

如果结点i是左子结点，那么父结点就是i+lowbit( i )，如果i是右子结点，那么父结点就是i-lowbit( i )，这个可以自己验证

树的结构清楚了，就构造一个辅助数组，方便求和

C[ i ] = A[ i-lowbit(i)+1 ]+A[ i-lowbit(i)+2 ]+……+A[ i ]

(C[t]就是从A[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和)

C数组的每个元素都是A数组的一段连续和，在BIT中每个结点都有属于自己的水平长条，长条中的数之和就是C[ i ]，例如结点2，它的水平长条有白有灰，白的部分对应结点1，那么C[ 2 ] = A[ 1 ] + A[ 2 ].

C[1] = A[1]

C[2] = A[1]+A[2]

C[3] = A[3]

C[4] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]

三、一维树状数组

1、数组C展开项数计算

int lowbit(int t)//C[t]展开的项数就是lowbit(t)
{
	return t&-t;
}

2、单点更新

修改了A[3]，就必须修改C[2], C[4], C[8], C[16]……

当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i)

void update(int i,int x)//A[i]加上x后更新一连串的C[j] 
{
	while(i<=n)
	{
		c[i] += x;
		i+=lowbit(i);
	}
}

3、区间求和
求数列A[]的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

如：

S[1] = C[1]

S[2] = C[2]

S[3] = C[3]+C[2]

S[4] = C[4]

S[5] = C[5]

S[6] = C[6]+C[4]

S[7] = C[7]+C[6]+C[4]

S[8] = C[8]

int getsum(int n)//求前n项的和 
{
	int sum=0;
	while(n>0)
	{
		sum+=c
;
		n-=lowbit(n);
	}
	return sum;
}

四、二维树状数组
典型例题：poj 1195（直接套模板）

二维树状数组的作用跟一维的是一样的，更新+求和（求和是矩阵求和）

扩展成二维后， C[x][y] = ∑ a[i][j]

其中， x-lowbit(x) + (1 <= i <= x)， y-lowbit(y) + (1 <= j <= y).

例：举个例子来看看C[][]的组成。

设原始二维数组为：

A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},

{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},

{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}，

{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};

那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记:

B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组

B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组

B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组

B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组

那么：

C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...

这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,

C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...

这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...

这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...

这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组

二维树状数组C[][]的规律：

（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为：

void Modify(int x,int y,int data)
{
	for(int i=x;i<=s;i+=lowbit[i])
	{
		for(int j=y;j<=s;j+=lowbit[j])
		{
			a[i][j]+=data;
		}
	}
}

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函数为：

int sum(int x,int y)
{
	int result =0;
	for(int i=x;i>0;i-=lowbit[i])
	{
		for(int j=y;j>0;j-=lowbit[j])
		{
			result+=a[i][j];
		}
	}
	return result;
}

例如：

Sun(1,1)=C[1][1];  Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
    Sun(2,1)=C[2][1];  Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
    Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];