多项式求和算法

作者：whj95

引言

该算法用于解决形如S(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3
4000
+…+aixi+…+an−1xn−1+anxn的多项式的和。

算法一：暴力破解

　　根据多项式的直观表示方法运用累加“+=”及幂函数“pow(x，i)”进行直接表达：

　　核心思想：

循环体
{
S(x) += 下标为i的系数 * x的i次方;
}

　　C++参考代码如下：

double polynomialsum(int n;double a[];double x)
{
double S= 0;
for(int i = 0; i <= n; i++)//注意是n不是n-1
S += a[i] * pow(x,i);
return S;
}

　　优点：这种算法比较直观而且直接，容易想到。

　　缺点：太直接以致时间复杂度T(n) = O(xn)，为多项式时间，显然数据大了无法接受。

算法二：类递归思想

　　将多项式进行巧妙的化简，每一步都提出x并分离。

　　于是该多项式算法可以从内往外循环，我们可以看到每一个完整括号内都可以看成“系数+x * S之前括号内部总和“

S(x) = a0+a1x+a2x2+a3x3+…+aixi+…+an−1xn−1+anxn = a0+x(a1+x(a2+x(…+x(an))))

　　核心思想：

循环体
{
S = 逆序系数 + x * S;
}

　　C++参考代码如下：

double polynomialsum(int n;double a[];double x)
{
double S = 0;
for(int i = n; i >= 0; i--)//注意是n不是n-1
S = a[i] + x * S;
}

　　优点：有效降低了算法复杂度T(n) = O(n)，由算法一的多项式时间降为线性时间。

　　缺点：创造这个想法时候最难，想到了就没什么缺点了。

　　注：以上两种也可针对非连续指数的多项式使用，可将缺省项看作0*xi，所以不论是暴力还是提取法都能使用，只不过要将缺省项的系数全部置为0即可