图算法(3):Floyd-Warshall算法

　　Floyd-Warshall算法（英语：Floyd-Warshall algorithm），中文亦称弗洛伊德算法，是解决任意两点间的最短路径的一种算法，即全源最短路径问题（All-Pairs Shortest Paths Problem），可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)[3]，空间复杂度为O(N^2)。

　　解决单源最短路径问题的方案有 Dijkstra 算法和 Bellman-Ford 算法，对于全源最短路径问题可以认为是单源最短路径问题（Single Source Shortest Paths Problem）的推广，即分别以每个顶点作为源顶点并求其至其它顶点的最短距离。更通用的全源最短路径算法包括：

　　针对稠密图的 Floyd-Warshall 算法：时间复杂度为 O(V3)；

　　针对稀疏图的 Johnson 算法：时间复杂度为 O(V2logV + VE)；

原理：

　　Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

　　


　　最外层一维空间可以省略，因为D[k]只与Dk-1]有关。在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

算法描述：

1 let dist be a |V| × |V| array of minimum distances initialized to ∞ (infinity)
2 for each vertex v
3    dist[v][v] ← 0
4 for each edge (u,v)
5    dist[u][v] ← w(u,v)  // the weight of the edge (u,v)
6 for k from 1 to |V|
7    for i from 1 to |V|
8       for j from 1 to |V|
9          if dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]
10             dist[i][j] ← dist[i][k] + dist[k][j]
11         end if

　　其中dist[i][j]表示由点i到点j的代价，当其为 ∞ 表示两点之间没有任何连接。

　　

　　注意：Floyd算法的本质是DP，而k是DP的阶段，因此要写最外面。

void floyd_original() {
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
dist[0][i][j] = graph[i][j];
for(int k = 1; k <= n; k++) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
dist[k][i][j] = min(dist[k-1][i][j], dist[k-1][i][k] + dist[k-1][k][j]);
}
}
}
}

滚动数组优化：





　　上图是使用滚动数组，在第k阶段，计算d[i][j]时的情况。此时，由于使用d[][]这个二维数组作为滚动数组，在各个阶段的计算中被重复使用，因此数组中表示阶段的那一维也被取消了。在这图中，白色的格子，代表最新被计算过的元素（即第k阶段的新值），而灰色的格子中的元素值，其实保存的还是上一阶段（即第k-1阶段）的旧值。因此，在新的d[i][j]还未被计算出来时，d[i][j]中保存的值其实就对应之前没有用滚动数组时d[k-1][i][j]的值。此时，动态转移方程在隐藏掉阶段索引后就变为：

d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])（k,i,j∈[1,n]）

　　赋值号左侧d[i][j]就是我们要计算的第k阶段是i和j之间的最短路径长度。在这里，需要确保赋值号右侧的d[i][j], d[i][k]和d[k][j]的值是上一阶段（k-1阶段）的值。前面已经分析过了，在新的d[i][j]算出之前，d[i][j]元素保留的值的确就是上一阶段的旧值。但至于d[i][k]和d[k][j]呢？我们无法确定这两个元素是落在白色区域（新值）还是灰色区域（旧值）。好在有这样一条重要的性质，dp[k-1][i][k]和dp[k-1][k][j]是不会在第k阶段改变大小的。也就是说，凡是和k节点相连的边，在第k阶段的值都不会变。如何简单证明呢？我们可以把j=k代入之前的d[k][i][j]=min(d[k-1][i][j], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])方程中，即：

d[k][i][k]

= min(d[k-1][i][k], d[k-1][i][k]+d[k-1][k][k])

= min(d[k-1][i][k], d[k-1][i][k]+0)

= d[k-1][i][k]

　　也就是说在第k-1阶段和第k阶段，点i和点k之间的最短路径长度是不变的。相同可以证明，在这两个阶段中，点k和点j之间的的最短路径长度也是不变的。因此，对于使用滚动数组的转移方程d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j])来说，赋值号右侧的d[i][j], d[i][k]和d[k][j]的值都是上一阶段（k-1阶段）的值，可以放心地被用来计算第k阶段时d[i][j]的值。

　　利用滚动数组改写后的Floyd算法代码如下：

void floyd(){
int i,j,k;
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
}

参考：

https://zh.wikipedia.org/wiki/Floyd-Warshall%E7%AE%97%E6%B3%95

/article/4809993.html

http://www.wutianqi.com/?p=1903

http://tech.artyoo.me/?p=81